Удивительные открытия

«Очарование, сопровождающее науку, может победить свойственное людям отвращение к напряжению ума и заставить их находить удовольствие в упражнении своего разума, что большинству людей представляется утомительным и скучным занятием».

В первом разделе «Начертательной геометрии» Монжа излагался метод проекций. Ученый исследовал возможные способы определения положения точки в пространстве и сделал вывод о том, что определять его следует не относительно трех плоскостей (таким приемом пользовались в аналитической геометрии), а при помощи лишь двух взаимно перпендикулярных плоскостей (горизонтальной и вертикальной).

Монж ввел понятие эпюр (от франц. ёриге — «чертеж, проект»), под которым следует понимать общую теорию построения ортогональных (расположенных под прямым углом) проекций трехмерного типа на плоском листе. В результате появилась возможность изображения любой детали в трех проекциях на одном чертеже, и метод Монжа стал основным методом составления технических чертежей.

Следует отметить, что в начертательной геометрии Монжа впервые появилась ось проекций, которая до него не была известна. Для того чтобы весь чертеж располагался на одном плоском листе бумаги, Монж разворачивал две плоскости посредством их вращения вокруг их линии пересечения, совмещая их в одну плоскость. Однако сам термин «ось проекции» у Монжа не встречается (он называл эту ось линией пересечения плоскостей проекций ).

Второй раздел «Начертательной геометрии» был посвящен изучению построения касательных плоскостей и нормалей к криволинейным поверхностям. Монж определял касательную плоскость как плоскость, проведенную через две касательные к образующим в точке их пересечения. Нормалью к поверхности он называл прямую, проведенную через точку касания перпендикулярно касательной плоскости.

В третьем разделе «Начертательной геометрии» Монж исследовал вопросы пересечения кривых поверхностей, сыгравшие важную роль для развития теории машин и механизмов. Он замечал, что множество точек, общих для обеих поверхностей, представляет линию двоякой кривизны; в частности, она может выродиться в прямую или лежать в одной плоскости. Монж указывал при этом, что методы начертательной геометрии можно сопоставить с алгебраическими операциями. Он писал:

...

«Для наиболее эффективного изучения математики ученик должен как можно раньше привыкнуть чувствовать соответствие между операциями анализа и геометрии; с одной стороны, он должен уметь записывать аксиоматически все те движения в пространстве, которые он может себе представить, с другой – представлять себе постоянно в пространстве движущуюся картину, записью которой является каждая из аналитических операций».

В четвертом разделе «Начертательной геометрии» были помещены прикладные задачи, в том числе: нахождение центра и радиуса сферы, проходящей через четыре произвольно заданные точки пространства; вписание шара в данную треугольную пирамиду; построение проекции точки по заданным ее расстояниям до трех фиксированных точек и т. д.

Французский математик Мишель Шаль (1793–1880), рассматривая прикладную сторону «Начертательной геометрии» Монжа, в 1846 году заявил:

...

«Понятно, что начертательная геометрия должна была бы существовать во все времена. В самом деле, мастера каменного дела и плотники всегда определяли и набрасывали рисунки на плоскости (…) Было даже несколько руководств, и хороших (…) Тем не менее приурочить практические вопросы к необходимому числу отвлеченных и элементарных действий никому не приходило в голову, а в особенности собрать их все в одно руководство (…) с тем, чтобы придать им характер учения (…) Это задумал и выполнил с редким талантом Монж».