Удовольствие от X. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

Задача считалась нерешаемой, пока в 2002 году Бритни Галливан, ученица старшего класса средней школы, не доказала обратное. Сначала она вывела формулу

L = (2ⁿ + 4) (2ⁿ — 1),

которая позволяла посчитать максимальное количество сложений n, где Т — толщина листа бумаги, L — его длина, и складывается он только в одном направлении. Обратите внимание на запрещающее присутствие экспоненциальной функции 2ⁿ в двух местах: первый раз для учета удвоения толщины пачки при каждом сложении, а во второй — чтобы учесть двукратное сокращение ее длины.

Используя свою формулу, Бритни пришла к выводу, что ей понадобится специальный рулон туалетной бумаги почти в три четверти мили длиной. Она купила бумагу и в январе 2002 года отправилась в торговый центр в своем родном городе Помона, где и размотала ее. Семь часов спустя с помощью родителей девочка побила мировой рекорд, сложив бумагу двенадцать раз!

В теории также предполагается, что экспоненциальный рост увеличит ваш банковский счет. Если ваш вклад растет с годовой процентной ставкой, равной r, то через год сумма увеличится в (1 + r) раз от первоначального размера вклада; после двух лет она вырастет в (1 + r)² раз, а после х лет — в (1 + r)^х раз. Таким образом, чудо погашения долга[54], о котором мы так часто слышим, вызвано действием экспоненциального роста.

С этого места можно вернуться к логарифмам. Мы нуждаемся в них потому, что полезно иметь инструменты, которые могут отменить действие других инструментов. Подобно тому как каждый служащий нуждается как в степлере, так и в антистеплере, каждый математик нуждается как в показательных (экспоненциальных) функциях, так и в логарифмах, поскольку они взаимообратны. Это означает, что если вы введете в калькулятор число х и нажмете кнопку «10^х», а затем кнопку «log x», то в результате опять получите число х. Например, если х = 2, то 10^х составит 100. Взяв десятичный логарифм от 100, снова получим 2, так как log[55] (100) = 2. Кроме того, log (1000) = 3, log (10 000) = 4, потому что 1000 = 10³, 10 000 = 10⁴.

Обратите внимание, в этом есть что-то магическое: как только числа внутри логарифмов увеличиваются мультипликативно каждый раз с десятикратным увеличением от 100 до 1000 и до 10 000 (то есть умножаются на 10), их логарифмы растут аддитивно, увеличиваясь от 2 до 3 и до 4. Наш мозг выполняет подобный трюк, когда мы слушаем музыку. Частоты нот в музыкальной гамме — до, ре, ми, фа, соль, ля, си — становятся нам слышны благодаря увеличению высоты звука равными интервалами. Но объективно их частоты растут, умноженные на равные множители. Мы же воспринимаем расстояние между высотой звука в гаммах «логарифмически»[56].

Везде, где появляются логарифмы, — от шкалы Рихтера для определения магнитуды землетрясений до коэффициента кислотности рН, — они становятся замечательными «уплотнителями». Логарифмы идеально подходят для величин, изменяющихся в широком диапазоне, и сжимают их, чтобы они стали более управляемыми. Например, 100 и 100 000 000 отличаются в миллион раз — эту пропасть большинство из нас даже не может вообразить. Но их логарифмы разнятся всего в четыре раза (равны 2 и 8, так как 100 = 10² и 100 000 000 = 10⁸). Когда мы разговариваем о заработной плате, то используем грубую версию логарифмической краткости, определяя заработную плату в интервале между 100 000 и 999 999 долларов шестью цифрами. Эта «шестерка» является приблизительным логарифмом этих сумм заработной платы, которые на самом деле находятся в диапазоне от 5 до 6.

Поскольку только инструменты математика могут сделать так впечатляюще много, как описанные функции, возможно, именно поэтому я до сих пор не собрал купленные книжные шкафы.

Часть III. Фигуры

12. Танец квадратов

Спорим, я смогу угадать ваш любимый раздел математики в средней школе?

Это геометрия. Правильно?

Столько из встреченных мной за эти годы людей говорили мне о своей любви к этому предмету. Вместе с тем, скольких образно мыслящих людей, у которых лучше развито правое полушарие, используемое при занятиях геометрией, отпугнула ее холодная логика? Наверное, многих. Но некоторые признавались, что любят геометрию именно за ее логичность. Математическое доказательство каждой новой теоремы представляет собой цепочку логических следствий из уже ранее доказанных теорем. Таким образом, при доказательстве теоремы оно сводится к ранее доказанному, что для многих становится источником вдохновения.

Но лучшая моя догадка (и откровенное признание, почему лично я люблю геометрию) заключается в том, что люди наслаждаются этой наукой, потому что она замужем за логикой и интуицией. Она хорошо себя чувствует, когда мы используем оба полушария мозга.