Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

ЧТО АЛГЕБРА ДАЕТ НАМ

Главные «потребители» алгебры в современном мире – ученые, старающиеся представить законы природы в виде уравнений. Последние могут быть решены, чтобы выразить неизвестные величины с использованием известных. Техника стала настолько привычной, что никто не замечает, что использует алгебру.

Алгебра очень эффектно была приложена к археологии в сериале «Команда времени», когда несгибаемый телеархеолог решает выяснить, насколько глубок был средневековый колодец. Первой идеей было что-нибудь туда кинуть и измерить время до момента, когда предмет упадет на дно. Это заняло шесть секунд. Соответствующая алгебраическая формула такова:

s =

¹/₂gt²,

где s

 – глубина колодца, t – время падения предмета, а g – ускорение свободного падения, примерно 10 м/с². Поставив 6 вместо t, по формуле мы получим глубину около 180 метров.

Из-за неуверенности в формуле – хотя, как выясняется позже, команда времени вспомнила ее правильно – герои решили опустить в колодец связанные вместе три мерные ленты.

И глубина колодца на самом деле оказалась очень близкой к 180 метрам.

Алгебра покажется нам еще более полезной, если мы будем знать глубину и захотим вычислить время. Теперь нам предстоит решить уравнение для неизвестной t с заданной s и получить результат по формуле

Зная, что s = 180 м, например, мы можем предположить, что t

равно квадратному корню из 360/10, или квадратному корню из 36, т. е. шесть секунд.

Глава 5. Вечные треугольники

Тригонометрия и логарифмы

Евклидова геометрия основана на треугольниках – главным образом потому, что любой многоугольник можно построить из нескольких треугольников, а практически все прочие важные фигуры, такие как круги и эллипсы, аппроксимируются с помощью многоугольников. Метрические свойства треугольников – те, что поддаются измерению, например длина их сторон, величина углов или общая площадь, – описаны разными формулами, подчас весьма изящными. Практическое приложение этих формул, особенно важных для навигаторов и землемеров, дало толчок развитию тригонометрии: само название этой отрасли знаний означает «измерение треугольников».

Тригономерия

Тригонометрия породила несколько специальных функций – математических правил для вычисления одной величины через другую. Они носят названия синус, косинус и тангенс. Тригонометрические функции стали незаменимым инструментом не только для измерения треугольников, но и для математики в целом.