Уравнения движения в расширяющейся Вселенной

Легко заметить сходство уравнения (8) с законом Хаббла, но для зависимости не скорости от расстояния, а расстояния от времени. Если продифференцировать его по времени, то мы сразу же и получаем развёрнутый закон Хаббла:

Замечаем, что последний сомножитель – это значение r, подставляем и получаем обычную запись закона Хаббла:

5. Интегральный закон Хаббла

Несложно показать, что при использовании изменяющегося во времени параметра e^H(t) мы получим интегральное уравнение движения а(t) или r(t).

Для этого все одинаковые интервалы времени записываем количественно, а не в порядковом виде. Каждое следующее состояние пространства является расширением предыдущего интервала, уже испытавшего соответствующее расширение.

Отмечаем, что все интервалы времени Δt_i равны друг другу, а Hi – это значение параметра Хаббла, соответствующее текущему моменту времени этого i-го интервала. Для визуализации будем в уравнениях предыдущий интервал отделять от следующего закрывающей скобкой. Чтобы избежать "размножения" сопутствующих им открывающих скобок, мы их просто опустим, помня, что их может быть столько же, сколько и закрывающих:

В первой строке показано, что расширение e^Ht испытал исходный интервал r₀. Во второй строке расширение происходит теперь уже у этого уже расширившегося интервала в скобках. В третьей строке новым интервалом для расширения является итоговый интервал из второй строки. И так далее. Закономерность очевидна, она имеет вид:

Обнаруживаем, что сумма произведений мгновенного значения параметра Хаббла, соответствующего каждому краткому интервалу времени, выглядит как интеграл. Если длины интервалов устремить к нулю, то получим интеграл:

Верхним пределом интеграла является время T – сумма всех бесконечно малых интервалов времени dt просто потому, что количество слагаемых n как раз и равно количеству этих интервалов dt в общем времени: T = n×dt.

Выше такое же решение мы нашли для закона Хаббла с масштабным фактором (5) и (6). Уравнение описывает, как со временем увеличивается расстояние между двумя областями, находящимися в исходном состоянии на некотором расстоянии r₀. Выше мы умышленно использовали константу в виде e^H, чтобы получить именно такую запись (8), причем величина H окажется в точности равной постоянной Хаббла.

В заключение покажем, как с помощью этих уравнений производится построение диаграмм движения на примере условной галактики, сверхновой, находившейся в начале расширения пространства на удалении от Земли в 3 млрд. световых лет. Для наглядности рассмотрим условную Вселенную, расширяющуюся с параметром Хаббла H(t), имеющим множество изломов: участков убывания и возрастания.

На рис.1 этот переменный параметр Хаббла представлен графиком 105xH(t), где масштабный множитель 105 использован, чтобы график был хорошо различим, а его некруглое значение – чтобы он имел меньше пересечений с другими графиками. Интервал времени диаграмм равен 14 млрд. лет.

Используя уравнение (7), производим построение графика дистанций R(t). Построение производим по табличным данным, в которых текущее удаление рассчитывается как предыдущее, испытавшее шаговое расширение, расширение с текущим значением параметра Хаббла за единичный интервал времени.

Рис.1. Пример диаграмм движения для переменного H(t)

График скорости v(t) строим c 10-кратным масштабом простым вычислением прироста дистанции за интервал времени этого прироста. Шаг времени step выбран равным 0,1 млрд. лет. Для сравнения приведён также график скорости с 10-кратным масштабом, определяемой для больших значений красного смещения точным обратным уравнением, переводящим скорость в красное смещение:

Как видим, расхождение скоростей на рисунке существенное. Скорость, определяемая простым умножением красного смещения на скорость света получается почти в 2 раза больше реальной скорости объекта. Известно, что приблизительное равенство cz ≈ v выполняется только при малых значениях красного смещения, z < 0,1.

Рис.2. Диаграммы Хаббла для v(r) и cz(r) во Вселенной с параметром Хаббла H(r)

На рис.2 приведены традиционные диаграммы Хаббла для этого условного параметра Хаббла H(t). В вычислениях использовано интегральное значение параметра Хаббла (5).

Литература

1. Боджовальд М., В погоне за скачущей Вселенной, журнал "В мире науки", Космология, 2001, № 1, URL: http://www.chronos.msu.ru/old/RREPORTS/bodzhovald_pogonya.html

2. Инфляционная стадия расширения Вселенной, Элементы, URL: http://elementy.ru/trefil/21082

3. Космология ранней Вселенной, Соросовская Энциклопедия, 2005, URL:

http://www.astronet.ru/db/msg/1210276

4. Расширение пространства со сверхсветовой скоростью?, URL: https://otvet.mail.ru/question/62024653

5. Смолин Л., Атомы пространства и времени //ВМН, № 4, 2004

6. Теория стационарной Вселенной, Элементы, URL: