В начале было ничто. Про время, пространство, скорость и другие константы физики

Если величина действия очень велика, как это имеет место у тяжелых частиц – мячей или планет, – то уничтожение друг друга соседями оказывается очень жестким и эффективным. Тогда, как и в геометрической оптике, частицы можно рассматривать как движущиеся по точно определенной «траектории выживания». Получается, что классическая механика вытекает из волновой природы частиц точно так же, как геометрическая оптика – из физической оптики и из волновой природы света. Когда частицы малы, как, скажем, электроны, действие микроскопически мало и взаимное погашение соседями друг друга становится неэффективным, как, например, при распространении звука. Классическая механика в этих случаях не действует, точно так же, как «геометрическая акустика» неприменима к звуку. Теперь для оценки движения частиц надо пользоваться квантовой механикой, которая всегда наготове, но, когда действие велико, остается в тени.

* * *

Наконец, чтобы завершить это обсуждение, мне придется еще упомянуть концепцию дифференциального уравнения. Многие законы природы, и в особенности законы классической и квантовой механики, выражаются именно в этой форме[24]. Это важная тема – часто можно услышать, что дифференциальные уравнения составляют математическую основу физики. Уравнения обычного, знакомого всем вида говорят нам, как одно свойство зависит от другого; взять хоть знаменитое уравнение E = mc 

², которое показывает, как энергия E зависит от массы

m. Дифференциальное же уравнение говорит о том, как изменение одного свойства (отсюда намек на понятие «разности», difference, в слове «дифференциальный») зависит от различных других свойств, включая и само рассматриваемое свойство. Второй закон Ньютона, который гласит, что скорость изменения количества движения пропорциональна действующей силе, – пример вербализации, словесного выражения дифференциального уравнения.

Также важно, что дифференциальные уравнения выражают бесконечно малые

изменения свойств. Причина (и преимущество) такого подхода заключаются в том, что условия могут изменяться от точки к точке. Например, во втором законе Ньютона сила может меняться от места к месту и от одного момента времени к другому, и чтобы найти суммарное влияние этих изменений на траекторию частицы, необходимо рассмотреть кумулятивный, накопленный результат выполнения множества (по сути, бесконечного числа) малых (бесконечно малых) шагов. Мы говорим, что общее действие силы может быть найдено посредством «интегрирования» (в сущности, суммирования всех этих малых шагов) или, эквивалентно, что дифференциальные уравнения могут быть «решены интегрированием». Таким образом, если в одной точке пространства сила оказывает какое-то одно влияние, а в соседней точке – другое, тело испытает толчок в первой точке и еще один толчок во второй, а общим результатом действия этих сил окажется сумма обоих толчков. Теперь, надеюсь, вы понимаете, что дифференциальное уравнение как раз и служит для того, чтобы описать, как частица (к примеру) как бы на ощупь прокладывает себе путь к месту назначения, определяя тем самым свою траекторию.

Основные, фундаментальные, вездесущие дифференциальные уравнения физики – дети анархии. Как вы уже видели, анархия порождает законы наименьшего времени в оптике и наименьшего действия в механике. Эти минимумы относятся к пути в целом, а не к бесконечно малым его участкам. И тем не менее замечательным математическим результатом является тот факт, что если пробираться на ощупь в соответствии с подходящим дифференциальным уравнением, это гарантирует вам движение вдоль в целом минимального пути. Дифференциальное уравнение дает вам инструкции, что делать в каждой конкретной точке пространства и в каждый конкретный момент времени – сдвигаться налево или направо, ускоряться или замедляться и так далее, – и все это для того, чтобы вы оказались в точке своего назначения, двигаясь по пути, требующем наименьшего времени и наименьшего действия[25]. Глобальный критерий рассыпался на множество точечных локальных инструкций. Получается, что, хотя по общему мнению дифференциальные уравнения составляют ключевую особенность физики, весьма вероятно (и, по-моему, так оно и есть), что, по крайней мере в рамках классической и квантовой механики, они представляют собой лишь вспомогательные конструкции. Ключевыми являются основанные на анархии глобальные свойства природы, а дифференциальные уравнения всего лишь дают локальные правила поведения – что-то вроде руководства для автостопщика по выбору кратчайшего маршрута.

* * *