В поисках бесконечности

Сложнее обстоит дело с практической значимостью теории бесконечных множеств. Ее роль более опосредована и состоит скорее в том, что теоретико-множественные понятия лежат в основе многих часто используемых математических теорем. Примерами могут слуячить теорема о неподвижной точке, лежащая в основе многих вычислительных процессов, теорема о компактности произведения компактных пространств и т. д. Одно из важнейших понятий современной математики — бесконечномерное гильбертово пространство — возникло в результате исследований Гильберта в области теории систем уравнений с бесконечным множеством неизвестных. При этом важнейшая модель таких пространств состоит из разрывных функций, интегрировать которые возможно лишь с помощью интеграла Лебега. В гильбертовом же пространстве лежит одно из самых удивительных образований — спираль Винера, направления которой в любых двух ее точках перпендикулярны друг другу. Несмотря на свою причудливость, эта спираль является геометрическим образом важного для приложений понятия теории вероятностей — случайных процессов с независимыми приращениями.

Не следует забывать при этом, что концепции математической логики, играющие столь важную роль в теории алгоритмических языков, были в значительной мере созданы в ходе осмысления парадоксов, которые возникли в теории бесконечных множеств. За последние годы приобретают практическое значение и иные аспекты этой теории. Известный американский специалист в области прикладной математики Р. Рихтмайер полагает, что в ближайшее время в обиход физики войдут концепции, которые будут заимствованы, в частности, и из теории множеств. Вообще, по его мнению, нет такого раздела математики, который не представлял бы потенциального интереса для физики.

Наиболее спорным является третий аспект теории множеств — попытка построения всей математики на теоретико-множественной основе (так называемый "бурбакизм"). По этому вопросу мнения ученых бывают иногда противоположными. Одни ученые полагают, что эта попытка дает возможность трактовать с единой точки зрения различные математические проблемы и применять методы, созданные для решения одних вопросов, к изучению проблем, которые кажутся весьма далеко лежащими от этих вопросов. Другие математики (обычно более близко связанные с прикладными сторонами науки), обвиняют этот подход в излишнем формализме, несоответствии применяемых средств изучаемым проблемам. Корни этих разногласий лежат в несовпадении математического мировоззрения спорящих сторон, в различной оценке важности тех или иных проблем и достижений математической науки. Быть может, истинным окажется какой-то диалектический синтез точек зрения, которые сейчас представляются противоположными.

Но независимо от исхода этих споров возникновение и развитие теории множеств явилось одним из важнейших этапов в истории математики, в процессе овладения человечеством понятием бесконечности. А этот процесс никогда не окончится, так как неисчерпаема сама идея бесконечности, в которой человеческий ум неизменно открывает все новые и новые стороны.