В сути вещей

Итак, кроме существования атома в левой половине ящика и существования этого же атома в правой половинке ящика есть еще и третье состояние – сосуществующее состояние. Лосев, думаю, выразился бы об этом несколько иначе. Границей атома, когда он находится только в правой половинке ящика и того положения, когда он находится только в левой половине ящика, есть такое состояние, когда он сразу расположен как в левой, так и в правой половинках ящика как возможность. Противоречие, сосуществующее состояние подчеркивает именно эту границу: нахождение (возможность нахождения) атома в левой половинке ящика – то же, что нахождение (возможность нахождения) атома в правой половинке ящика.

Как только логика тщательнейшим образом рассматривает то, что не существует, так сразу приходится признать правоту Лосева (Гегеля) – кроме А или не-А существует еще и сама их граница «А = не-А», которая отрицает, что может быть только А или только неА..

И я бы еще добавил, что, только рассматривая переходы «А = А» → «A = не-A» → «не-A = не-A», становится понятной идея непрерывности.

2.5. Парадоксы и иллюзии

Как отмечалось ранее, источник противоречий – предложение вида «а = {а, не}».

Рассмотрим тяжбу Протагора и Эватла. По договоренности, Эватл должен был заплатить Протагору, если выиграет судебный процесс. Однако, Эватл так и не заплатил своему учителю, поскольку не участвовал в судах.

Тогда Протагор подал на ученика в суд, решив, что выиграет, аргументировав так: если Эватл выиграет это процесс, то отдаст мне деньги согласно нашей договоренности, если же суд примет решение в мою пользу, то Эватл отдаст деньги по решению суда. На что Эватл возразил в суде: если я проиграю, то не отдам деньги согласно нашей договоренности, если я выиграю, то не должен буду Протагору по решению суда.

По отдельности, договоренности Протагора с Эватлом и решение судебного процесса – не противоречивы. Они становятся именно такими при соединении друг с другом. Выигрыш обвиняемого Эватла – не платить Протагору по решению суда. Проигрыш обвиняемого Эватла – заплатить Протагору по решению суда.

Но, согласно договоренности: Эватл должен заплатить, если выиграет, Эватл не должен платить, если проиграет.

Следовательно, Эватл должен заплатить Протагору, если «не платить Протагору по решению суда». Эватл не должен платить Протагору, если «заплатить Протагору по решению суда». Или короче: заплатить = не платить, не платить = заплатить.

Противоречиво? Несомненно! Но попробуйте сыграть с собой, например, в шахматы. Ваш выигрыш будет равняться вашему же проигрышу (выигрыш = проигрыш) И в этом нет ничего удивительного! Для замкнутых на себя систем с отрицанием это естественно. Достаточно вспомнить начало логики Гегеля (быть как таковое = не быть как таковое). Вот только для математики выводы Гёделя – откровение. …

Та же суть и у другого парадокса, известного как «Ахиллес и черепаха», который формулируется следующим образом: быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.

Вопрос ставится так: всегда ли то, что движется позади с большей скоростью, обгонит то, что движется впереди с меньшей скоростью? … Цвет туники, а также неясности типа «обут ли Ахиллес в сандалии» значения не имеют.

Рассмотрим для примера «обобщенно гармонический ряд» вида 1/(ns), где «n» имеет степень «s» больше единицы (при степени 1 ≥ s ряд расходящийся). Допустим, имеем сходящиеся ряды: s=2 для Ахиллеса и s=3 для черепахи и, соответственно, превышение скорости Ахиллеса над скоростью черепахи (за исключением n=1).

Рассмотрим ситуацию, когда оба стартуют одновременно и без гандикапа. Поскольку оба ряда сходятся, то существует разность их пределов L2 – L3 = L (т. е существует конечное число L, которое показывает, насколько Ахиллес обгонит черепаху).

Теперь нетрудно придумать случай, когда Ахиллес не догонит черепаху: L0 > L (L0 – начальное преимущество черепахи)

Случай, когда Ахиллес сравняется с черепахой: L0 = L

Случай, когда Ахиллес перегонит черепаху: L0 < L

Итак, математика показывает, что возможны все три случая. … Но ведь в парадоксе утверждается, что за то время, когда Ахиллес приближается к черепахе, черепаха «всегда» успевает пройти чуть дальше, несмотря на разность скоростей и начальный гандикап!

Это неявное «всегда впереди» как раз и делает его парадоксом, поскольку, если отбросить все лишнее, он (парадокс) звучит так: «когда Ахиллес, двигаясь с большей скоростью, догонит черепаху, если он никогда ее не догонит?» или, если выразиться еще короче, «догонит = не догонит».

Логика иллюзий та же. С той лишь разницей, что визуальные парадоксы только с внешней стороны эффектнее (смотри рис. 5)