Великие цивилизации Междуречья. Древняя Месопотамия: Царства Шумер, Аккад, Вавилония и Ассирия. 2700–100 гг. до н. э.

Задача № 1

Я нашел камень, но не взвесил его. Затем я добавил одну седьмую и одну одиннадцатую. Я взвесил – одна мана. Каким был изначальный вес камня?

Вес камня составлял одну ману, восемь шекелей и 22¹/₂ «линии».

Задача № 2

Если кто-то спросит у тебя следующее: я выкопал столько же, сколько составляет сторона квадрата, который я сделал, и я вычел один мусару (60³) и половину размера земли. Свое основание (поверхность земли) я сделал квадратом. Как глубоко я копал?

Ты в своих действиях оперируешь числом 12. Возьми обратную дробь от 12 и умножь на 1,30,0,0, что есть твой размер. Ты получишь 7,30,0. Каков кубический корень от 7,30,0? Тридцать – это кубический корень. Умножь 30 на один, и ты получишь 30. Умножь 20 на один еще раз, и ты получишь 30. Умножь 30 на 12, и 6,0 (360) ты получишь. Тридцать – это сторона твоего квадрата, и 6,0 (360) – твоя глубина.

Вводное предложение к первой задаче свидетельствует о том, что она полностью гипотетическая. В тексте приведено решение, но способ, с помощью которого оно было получено, учитель, очевидно, объяснял устно. Во второй задаче решение, наоборот, приведено полностью. По приведенным выше текстам видно, что вавилонские математики были прекрасно знакомы с кубическими корнями, а ведь табличка, на которой они записаны, датируется XVII или XVIII в. до н. э. Ассирийцы также, несомненно, умели извлекать квадратные корни и были способны вычислить квадратный корень из двух с минимальной погрешностью (1,414213 вместо 1,414214).

В приведенных выше расчетах также отразились две характерные черты месопотамской математики. Во-первых, они основаны на шестеричной системе счисления. Во-вторых, в то время как все системы счета, применявшиеся в древности (включая римскую), были непозиционными, жители Месопотамии оказались единственными, кто пользовался позиционной системой счисления, то есть значение каждой цифры в записи числа у них зависело от ее местонахождения. (К примеру, в числе 3333 одна и та же цифра обозначает 3000, 300, 30 и 3 соответственно.) И шестеричная, и позиционная системы счисления имеют ряд преимуществ, помогающих усовершенствовать вычисления, однако, к несчастью, в рамках шестеричной применялась и десятеричная система счисления, да и цифра 0 не была известна в Месопотамии вплоть до периода правления династии Селевкидов. Поэтому при решении месопотамских задач даже специалисты нередко сталкиваются с рядом трудностей, и можно предположить, что во многих случаях ученикам давались необходимые устные разъяснения.

Кроме того, необходимо обратить внимание на следующий факт: вавилонские математики, не использовавшие символы, применяли скорее алгебраические, чем арифметические методы. Судя по текстам некоторых из их задач, решить их можно было, только применив алгоритм, сходный с квадратным уравнением. В качестве примера приведем следующую задачу: «Я добавил 7 раз сторону моего квадрата и 11 раз его поверхность. В итоге получилось 6,15 (в шестизначной системе счисления). Запиши 7 и 11». Ее можно выразить в виде следующего квадратного уравнения: 11х² + 7х = 6,15.

В ходе изучения некоторых табличек также можно сделать вывод о том, что вавилоняне были знакомы с функциями и при вычислениях использовали отношения рядов, экспоненциальную и логарифмическую зависимости. Они обладали абстрактным мышлением и любили цифры сами по себе, почти не задумываясь об их практическом применении. По этой причине вавилонская геометрия была гораздо меньше развита, чем алгебра. Математики были знакомы с некоторыми основными свойствами треугольника, прямоугольника и круга, но не сумели продемонстрировать их и измеряли полигональные поверхности с большими погрешностями. Геометрические фигуры, изображенные на табличках, являются лишь иллюстрациями к арифметическим проблемам. В отличие от греков вавилоняне увлекались не столько свойствами линий, поверхностей и объемов, сколько сложными подсчетами, обусловленными их взаимосвязями.

Прекрасной областью применения знаний математиков стала астрономия, благодаря чему эта наука в Месопотамии достигла настолько высокого уровня развития, что астрономы других древних государств остались далеко позади. Пристально изучать движение небесных тел жители Месопотамии стали по двум причинам: метафизической и хронологической. Первая из них была связана с верой в то, что события, происходившие на небе, повторяются и на земле, а также с мнением о том, что если планеты и созвездия тождественны богам, царям и государствам и можно проследить их взаимосвязи, то возможно предсказать будущее. Это в какой-то мере облегчало драматическую неуверенность, на которой зиждилась месопотамская философия. Таким образом, в основе астрономии лежала астрология, хотя принятая в Междуречье система никогда не была жесткой и оставляла возможность для божественного и человеческого вмешательства, а предопределенность, выраженная в форме гороскопов, появилась только в период правления Ахеменидов.