Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

— Последователь, стало быть, не заставил себя ждать. Не последователь, а последователи, — снова поправляет бес. — Даже в семнадцатом веке их уже было несколько. Само собой, охотники погреть руки на чужом таланте — не в счет. Паскаля оградила от них королевская привилегия, а еще — их собственное невежество: изготовление мало-мальски сносной подделки требовало сноровки и знаний, которых у них не было. Ну да что о них толковать! Мы ведь говорим о связи машины Паскаля с современностью.

— Как? Разве разговор не закончен? — удивляется Мате.

— Нет, мсье, мы как раз подошли к самому главному. А главное для мае с вами — отнюдь не устройство машины, а идея. Да, да, идея, которая подтолкнула мсье Паскаля к ее созданию. Он, если помните, руководствовался утверждением Декарта, полагавшего, что мозгу человеческому свойствен некий автоматизм и что многие умственные процессы, по сути дела, ничем не отличаются от механических. Иными словами, мозг столько же автомат, сколько живой орган. Долгие годы работы заставили Паскаля не только утвердиться в этой мысли, но и углубить ее. Он понял, что действия арифметической машины даже ближе к мыслительному процессу, нежели то, на что способен живой мозг…

— Что?! — взвивается Мате. — У Паскаля есть такая запись? Но ведь это же одно из тех положений, на которых основана кибернетика!

— В том-то и дело, мсье! И значит, у нас с вами есть все основания считать Паскаля ее отдаленным предшественником, что совершенно необходимо отметить еще одной чашкой чая.

Хозяин, улыбаясь, принимает у черта пустую чашку. Но что это? Рисунок на ней. опять изменился! Теперь там изображены они сами — Фило, Мате и Асмодей в своем маркизовом обличье, восседающие на крыше руанской судебной палаты.

Улыбка медленно сползает с круглой физиономии Фило. Неужели его заставят копаться в теореме Дезарга? К счастью, эта неприятная для него операция переносится на другое время. Зато разговор о своей собственной теореме Мате откладывать не намерен. И многострадальный филолог покоряется своей участи.

— Итак, — говорит Мате, — напоминаю суть теоремы. Если на сторонах произвольного треугольника построить снаружи или внутри (значения не имеет) по равностороннему треугольнику и соединить прямыми их центры тяжести, то полученный таким образом новый треугольник тоже будет равносторонним.

— Насколько я понимаю, именно это и нуждается в доказательстве, — капризно замечает Фило.

— Совершенно верно. Какого рода доказательство вы желаете получить? Общее или частное — на числовом примере?

— Достаточно будет и частного!

— Понятно, — ядовито кивает Мате. — Тогда к общему виду потрудитесь привести его самостоятельно. А теперь вычертим произвольный треугольник и выберем систему координат с началом в одной из вершин треугольника. Скажем, в точке О. Ось иксов направим вдоль стороны ОВ. — Говоря это, Мате набрасывает чертеж в своем неизменном блокноте. — Как видите, координаты вершины О — нуль, нуль; вершины А — четыре, пять; вершины В — девять, нуль. Теперь нетрудно вычислить и размеры сторон треугольника.

— По известной формуле, — сейчас же соображает Асмодей. — Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат этих точек, иначе говоря

d² = (X₁ ― X₂)² + (Y₁ ― Y₂)²

— Очень хорошо. Подставим в эту формулу координаты соответствующих вершин треугольника. Тогда:

ОА² = 4² + 5² = 41, а ОА = √41; OB² = 81, а ОВ = 9 и АВ² = (9 ― 4)² + 5² = 50, а АВ = √50 = 5√2.

Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами п, т и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Am = Oт. Во втором — An = Вп. В третьем — Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на √3, то

Am = mO = 2/3 AO√3/2 = AO√3/3,

An = Bn = AB√3/3 и

Bp = Op = OB√3/3.

Иначе:

(Am)² = (mO)² = AO²/3 = 41/3;

(An)² = (Bn)² = AB²/3 = 50/3;

(Bp)² = (Op)² = OB²/3 = 27.

Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:

— Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки т: х₁,у₁ ; точки п: х₂, y₂; точки р: x₃, у₃. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что

(Am)² = (Om)² = (x₁ ― 4)² + (y₁ ― 5)² = x₁² + y₁² = 41/3.

Решая систему двух уравнений:

(x₁ ― 4)² + (y₁ ― 5)² = x₁² + y₁² и

x₁² + y₁² = 41/3,

найдем, что

x₁ = 2 ± 5√3/6; y₁ = 2,5 ± 2/3√3.