Веселим гостей

Вы – биохимик, работающий с двенадцатислотной центрифугой. Это устройство, которое имеет 12 слотов одного размера вокруг центральной оси, в которые вы размещаете образцы химических веществ, которые вам нужно смешать. Когда машина включена, образцы вращаются вокруг центральной оси и превращаются в однородную жидкость. Чтобы быть уверенным в том, что образцы хорошо смешались, они должны быть размещены по 12 слотам сбалансированно. К примеру, если вы хотите смешать 4 вещества, то их можно разместить в слоты 3, 6, 9 и 12 (предполагается, что слоты пронумерованы, так же как и цифры на часах). Можно ли смешать в такой центрифуге 5 веществ?

Ответ: Можно! Для этого нужно каждый образец разделить на две части, после этого у вас станет 10 образцов. Естественно, их разместить очень просто: слоты 12 и 6 оставляем пустыми, остальные заполняем.

* * *

97 бейсбольных команд участвуют в ежегодном турнире. В этом турнире победитель выбирается по старой системе исключения. То есть эти 97 команд разбиваются на пары и команды каждой пары играют друг против друга. После того как проигравшие команды исключаются, победители снова делятся на пары, и т. д. Сколько игр нужно сыграть, чтобы определить чемпиона?

Ответ: 96.

* * *

Сколько у меня цветов, если все из них, кроме двух, – розы, все, кроме двух, – тюльпаны и все, кроме двух, – маргаритки?

Ответ: Есть два основных варианта решения:

1) три цветка: роза, тюльпан и маргаритка.

2) два цветка: гладиолус и ромашка.

* * *

Любая группа из шести человек состоит или из трех общих знакомых, или из трех общих незнакомцев. Докажите это.

Ответ: Возьмем человека Х. Из пяти других людей должны иметься или, по крайней мере, три знакомых X, или, по крайней мере, три незнакомца для X. Допустим, что X имеет трех незнакомцев А, В, C. Если A, B, C – не требуемая триада знакомых, они должны включить пару незнакомцев, например A и B. Тогда X, A, B – требуемая триада незнакомцев.

* * *

Вы хотите послать другу ценный предмет. У вас есть коробка, которая больше, чем сам предмет. У вас есть несколько замков с ключами. У коробки есть кольцо (петли), которое больше, чем было бы достаточно для замка. Но у вашего друга нет ключей ни от одного вашего замка. Что же делать?

Замечание: Вы не можете послать ключ в незапертой коробке, так как его могут скопировать.

Ответ: Положите предмет в коробку и закройте ее на замок. Пошлите коробку другу. Друг закрывает коробку еще и на свой замок и посылает коробку вам. Вы открываете свой замок и посылаете коробку другу. Он открывает свой замок.

Две коробочки помечены А и В. Надпись на коробочке А гласит: «Надпись на коробочке B верна и золото в коробочке А». Надпись на коробочке B гласит «Надпись на коробочке А не верна и золото в коробочке А». Предполагая, что в одной из коробочек лежит золото, скажите, в какой именно.

Ответ: Решения, казалось бы, не существует. Если надпись на коробочке А правдива, то правдива и надпись на коробочке В, но там сказано, что надпись на А – ложна. Если же надпись на А – ложна, значит, ложна надпись и на В, но тогда должна быть правдива надпись на А.

Если же рассматривать «и» в условии как логическое, то решение у головоломки появится, так как ложная надпись «Утверждение 1 И утверждение 2» предполагает наличие хотя бы одного неверного утверждения. Золото находится в коробочке B, надписи на обеих коробочках ложны.

* * *

Докажите, что в Москве есть как минимум два человека с одинаковым количеством волос на голове, если известно, что максимальное количество волос у человека – 100 000.

Ответ: Работает принцип Дирихле, так как число всех людей в Москве значительно больше 100 000. К тому же хотя бы два лысых человека в Москве точно есть.

* * *

В некоторой стране есть два города. В одном из них живут только люди, которые всегда говорят правду, в другом – только те, кто всегда лжет. Все они ходят друг к другу в гости, то есть в любом из этих двух городов можно встретить как честного человека, так и лжеца. Предположим, вы оказались в одном из этих городов. Как, задав один-единственный вопрос первому встречному, определить, в какой город вы попали – в город честных или в город лжецов?

Ответ: «Вы находитесь в своем городе?» Ответ «да» всегда будет означать, что вы в городе честных, кто бы вам ни попался.

* * *

Допустим, что вы – узник, которому вдруг предоставлено право выйти на свободу, но только в том случае, если справитесь с таким заданием: перед вами две двери, одна из них ведет на волю, другая – дорога к смерти. Сидят два стражника, причем один из них – лгун, а второй всегда говорит правду. Вы не знаете, кто из них кто. Вы должны, задав лишь один вопрос одному из стражников, определить дорогу на свободу. Какой вопрос вы зададите?

Ответ: Существует бесконечное множество решений, однако наиболее красивы из них три:

– Показав на конкретную дверь: «Твой товарищ сказал бы, что ЭТА дверь ведет на свободу?» Ответ «да» означает, что это дверь НЕ ведет на свободу.