Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

«Никто не может служить двум хозяевам разом: если евклидова геометрия истинна, нужно вычеркнуть неевклидову геометрию из списка наук и поставить ее в ряд с алхимией и астрологией».

Позиция ретрограда помешала ему понять, что для Гильберта аксиомы — всего лишь абстрактные схемы, сформулированные с практической целью как начала математической теории.

Недовольство Фреге возросло, когда тот прочитал, что Гильберт готов называть «точками», «прямыми» и «плоскостями» любые три произвольных множества, которые удовлетворяли его аксиомам, пусть даже это будут столы, стулья и пивные кружки. Фреге считал, что аксиомы касаются реальных вещей и, следовательно, едва ли у них может быть более одной интерпретации. Гильберт парировал в ответном письме:

«Каждая теория — всего лишь набор понятий и некоторых связывающих их отношений, ее базовые элементы могут быть произвольными. Если под точками и прочим я понимаю любую систему вещей, например систему, образованную любовью, законом, щеткой для чистки труб и так далее, и сочту, что для этих вещей все мои аксиомы справедливы, то справедливыми для этих вещей окажутся и мои теоремы, как, например, теорема Пифагора. Другими словами, каждая теория может быть применена к бесконечному числу систем базовых элементов».

Когда Фреге опубликовал пару крупных статей, в которых назвал его шарлатаном, через Алвина Корсельта (1864-1947), Гильберт ответил: «Мы можем озаглавить ее как «пустая и бессмысленная игра знаков» или как-то в этом духе; но как законной связи между пропозициями ей не нужно никакое другое специальное название».

Любопытно, что употребление терминов в аксиомах смутило и Анри Пуанкаре. Французский математик подключился к критике Гильберта, поскольку ему были неприятны те, кто стремился свести математику к чистым формальным отношениям символов. Он написал подробную рецензию, обвинив немца в мошенничестве, поскольку аксиоматический метод не является созидательным. Этот неоригинальный концептуализирующий инструмент маскирует или прячет то, что должен аксиоматизировать. По мнению Пуанкаре, в «Основаниях геометрии» всегда подразумевается евклидова геометрия, хотя Гильберт это и отрицал. Пусть его аксиоматика и претендует на то, чтобы представлять собой ряд скрытых определений, она происходит из уже существующей теории и ограничивается лишь ее реорганизацией. Французский титан вновь потеснил немецкого титана.

Фреге не понял интереса Гильберта к аксиоме полноты линии, или непрерывности прямой, в которой постулируется, что не существует другой большей системы объектов, которая также выполняла бы аксиомы. Философ заявил математику, что это похоже на теологическое заключение на основе аксиомы, которая гласила бы: «Аксиома 3. Существует по крайней мере один Бог». По иронии судьбы Гильберта уже во второй раз обвинили в тяготении к теологии. Однако он был не теологом, а скорее мистиком, поскольку предугадывал будущее математики.

Противостояние Фреге и Гильберта, как и в случае с Горданом, — ключ для понимания отличия математики XIX века от математики XX столетия. Для Фреге математическое существование было связано с тем, какие материальные или идеальные объекты существуют в мире. Раз есть только один мир, должна быть только одна геометрия. Аксиоматические системы изначально были пустыми. Гильберт же, наоборот, считал, что аксиомы не просто кодируют поведение математических объектов, но также могут создавать новые математические объекты, если не вступают в противоречие. Следовательно, в математике есть больше одной геометрии, при этом каждая из них непротиворечива (относительно арифметики).

«Основания» оказались своего рода знаком ферматы над геометрией, открыв путь другим возможным геометриям (неевклидовым, неархимедовым и так далее). Кроме того, они стали первым столпом современной аксиоматики. С 1900 года, взяв на вооружение новый метод, Гильберт начал внедрять аксиоматизацию в другие научные дисциплины. Раз аксиоматика так хорошо себя показала в геометрии, почему бы ее не задействовать в арифметике, анализе или физике?

ГЛАВА 2

Вызов Гильберта