Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

11. Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими коэффициентами.

В блоке алгебры — следующие проблемы.

12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных.

14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.

17. Представление определенных форм в виде сумм квадратов.

В блоке геометрии...

15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Германа Шуберта (1848-1911).

ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА

Это одна из значительных проблем, которая кажется простой, хотя это не так. Заключается она в поиске общего способа, позволившего бы выяснить, имеет ли диофантово уравнение целые решения или нет, без необходимости вычислять их. Диофантовы уравнения — это уравнения, в которых участвует только один многочлен с целыми коэффициентами и нужно найти все целые решения. Уравнения носят имя греческого математика Диофанта (III век), ими занимавшегося. В частности, знаменитое уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ последней теоремы Ферма — это диофантово уравнение (в 1995 году Эндрю Уайлсу (р. 1953) удалось доказать, что у этого уравнения нет целых решений, отличных от нуля, если п больше 2). Проблема оставалась открытой, пока в 1970 году теория чисел и математическая логика не объединились: советский математик Юрий Матиясевич (р. 1947), следуя идеям Мартина Дэвиса (р. 1928), Хилари Патнем (р. 1926) и Джулии Робинсон (1919-1985), смог доказать, что такого алгоритма не существует. Перенесшая операцию на сердце Джулия Робинсон на свой день рождения обычно загадывала желание: «Пусть кто-нибудь решит десятую проблему Гильберта. Я не успокоюсь, пока ответ не будет найден». Любопытно, что ее старшая сестра Констанс Рейд (1918-2010) написала лучшую биографию Давида Гильберта.

16. Исследование топологии алгебраических кривых и поверхностей, включая (как отсылку к работе Пуанкаре) изучение числа и формы предельных циклов, являющихся решениями некоторых дифференциальных уравнений.

Слева — замощение плоскости шестиугольниками. Справа — замощение пространства усеченными октаэдрами.

18. Построение пространства на основе конгруэнтных многогранников. Будучи одной из классических проблем математики, известная как проблема паркета или бордюра, она состоит в том, чтобы определить, сколькими различными способами можно целиком заполнить плоскость одинаковыми геометрическими фигурами. Гильберт расширил ее, рассмотрев возможность заполнения пространства конгруэнтными многогранниками (см. рисунок). Так что речь шла об обобщении уже произведенного исследования групп симметрии и замощений (многие из них представлены в мозаике архитектурного ансамбля Альгамбры) двумерной плоскости до случая трехмерного пространства. Промежуточные достижения в этой области пришлись на 1910 год и принадлежат Людвигу Бибербаху (1886-1982) — математику, который в итоге присоединился к нацистской партии и сместил Гильберта. Кроме того, в этот раздел Гильберт включил знаменитую гипотезу Кеплера: какое расположение шаров одного радиуса оставляет меньше всего свободного пространства? Решение Кеплера — расположить их подобно апельсинам в корзине, как совсем недавно продемонстрировал Томас Хейлс (р. 1958).

И наконец, в блоке, посвященном анализу, находились последние пять проблем.

19. Изучение аналитичности решения регулярных задач вариационного исчисления.

20. Изучение существования решений задач вариационного исчисления с определенными граничными условиями.

21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.