Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

«Отчет о числах» перенес Гильберта в авангард европейской математики. Конечно, анализируя его раннюю математическую деятельность, можно подумать, будто это отличный исследователь, но в узкой сфере знаний. Почти невозможно было предвидеть дальнейшее восхождение Гильберта на вершину математического Олимпа и общую убежденность в том, что, как и Пуанкаре, он является одним из последних математиков-универсалов, ориентирующихся во всех областях науки, включая его следующее завоевание — геометрию. Но чтобы показать вклад Гильберта в этой области, нужно вспомнить об исторической подоплеке, о том толчке, который XIX век обеспечил геометрии, о том, как открытие неевклидовых геометрий изменило аксиоматический метод.

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ

Греческая геометрия была краеугольным камнем математики в течение нескольких веков. В «Началах» — трактате, восходящем к 300 году до н.э., — Евклид предложил аксиоматическое, чрезвычайно упорядоченное и структурированное представление о корпусе знаний, переданных математиками школ Пифагора и Платона. Его изложение, на которое повлияли размышления Аристотеля о логике, обладало очень примечательной характеристикой — чрезвычайной строгостью при доказательстве каждой теоремы.

«Начала» состоят из 13 книг и содержат 465 геометрических пропозиций, от базовых принципов до самых проработанных выводов. Евклид начинает Книгу I списком из 23 определений основных геометрических терминов (точка, прямая, треугольник, окружность и так далее). Например: «Точка есть то, что не имеет частей». Затем Евклид приводит пять постулатов, на которых базируется вся его геометрия. Эти постулаты представлены без доказательства и обоснования, их просто нужно принять как предпосылки к изложенному дальше. Например: «Между двумя любыми точками можно провести прямую линию». После определений и геометрических постулатов Евклид уточняет ряд общих понятий и неоспоримых истин. Например: «Целое больше части» или «Равные одному и тому же равны и между собой». С этого момента Евклид начинает углубляться в предмет. Так, в первой пропозиции «Начал» показано, как построить равносторонний треугольник на заданном линейном отрезке.

В то время как общие понятия имеют чисто логическое происхождение, постулаты (или аксиомы) обладают геометрической природой. Они уточняют правила работы с математическими объектами, которые Евклид определил до этого. Эти пять постулатов, или аксиом, следующие.

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

Иллюстрация пятого постулата Евклида.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых (см. рисунок на предыдущей странице).

В отличие от прочих, пятый постулат Евклида довольно неочевиден, и это привело к тому, что многие математики — например, Птолемей (II век), Джон Валлис (1616-1703) и Иероним Саккери (1667-1733) — безуспешно пытались доказать его через остальные постулаты. В попытках доказательства каждый из них превосходил другого по утонченности и находчивости. Но единственным, чего они добились, стали формулировки, равносильные пятому постулату. Одна из них — знаменитая аксиома параллельных прямых. «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной» (см. рисунок выше). Другая версия провозглашает, что «Сумма углов треугольника равна 180°». Однако историю о пятом постулате, или аксиоме параллельных прямых, ждал удивительный финал.

Иллюстрация аксиомы параллельных прямых.

Как математикам удалось освободиться от цепей евклидовой геометрии? Более 2000 лет они были убеждены, что это единственно возможная геометрия, единственное убедительное описание мира, поскольку изучалось только одно физическое пространство. Но в XIX веке открытие различных геометрий (в которых не выполнялась аксиома параллельных прямых) усилило их тревогу и заставило признать ошибку. Этот животрепещущий вопрос касался формы мира (если он действительно имеет какую-то форму).