Во что мы верим, но не можем доказать

Если рассмотреть некоторые доказательства, полученные в последние 50 лет, с помощью невероятно сложных умозаключений, иногда занимающих больше сотни страниц, уверенности становится еще меньше. Почти все математики (в том числе и я) верят, что Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1994 году, но так ли это? Я в это верю, потому что меня убедили эксперты.

В конце 2002 года российский математик Г. Перельман опубликовал в Интернете схему доказательства гипотезы Пуанкаре, знаменитой топологической проблемы, которую никто не может разгадать около сотни лет. Математики изучают доказательство Перельмана уже три года, но до сих пор не уверены в его правильности (они думают, что «вероятно, оно правильно»).

Или возьмем Томаса Хейлса. В 1998 году он предложил доказательства выдвинутой 360 лет назад гипотезы Иоганна Кеплера о том, что самый эффективный способ упаковать шары одинакового размера (например, пушечные ядра, с которых и началась эта гипотеза) — сложить их в форме пирамиды, как продавцы складывают апельсины на прилавке. Хейлс до сих пор не знает, примет ли математическое сообщество его доказательства. Комитет мировых экспертов изучал его доказательство (частично при помощи компьютера) в течение пяти лет. Весной 2003 года эксперты заявили, что не нашли никаких серьезных ошибок в его доказательстве, но все же не уверены в его правильности.

Но если само понятие доказательств настолько туманно даже в математике, ответить на ежегодный вопрос проекта Edge не так уж легко. Лучшее, что можно сделать, — это придумать что-нибудь, во что мы верим, но не можем доказать, просто ради собственного удовольствия. Другие могут соглашаться или не соглашаться с нами, в зависимости от того, насколько они доверяют нам в сфере науки, философии, какой-то другой области, на основании нашей репутации и наших предыдущих работ. Даже готовность математиков прошлого принять теорему Гёделя о неполноте (которая позволила бы мне в ответ на вопрос Edge сказать, что я верю, что в арифметике нет внутренних противоречий) уже невозможна. Теорема Гёделя показала: невозможно доказать, что теория, основанная на аксиомах, например, арифметика, свободна от противоречий, если мы пытаемся сделать это в рамках этой самой теории. Но это не значит, что этого нельзя доказать в рамках более обширной теории. На самом деле в стандартной теории, основанной на наборе аксиом, можно доказать, что арифметика лишена противоречий. Лично я верю этим доказательствам. Для меня как математика непротиворечивость арифметики полностью доказана, к моему полному удовольствию.

Поэтому, чтобы ответить на вопрос проекта Edge, нужно относиться к доказательствам с точки зрения здравого смысла. Тогда доказательства — это просто аргументы, способные убедить разумного, профессионального, скептичного, опытного эксперта в соответствующей области. В этом духе я могу перечислить достаточно узкие математические проблемы, которые считаю верными, но не могу этого доказать, начиная со знаменитой гипотезы Римана. Но я предпочитаю использовать свой математический взгляд, чтобы указать на неопределенность самого понятия «доказательство». Я верю (хотя и не могу этого доказать), что могу доказать свою точку зрения.

Фримен Дайсон

ФРИМЕН ДАЙСОН — почетный профессор физики Института последипломного образования Принстонского университета. Автор нескольких научно-популярных книг, в том числе «Воображаемые миры» и «Солнце, геном и Интернет».

Я — математик, и поэтому мой ответ на этот вопрос будет точным. Благодаря Курту Гёделю мы знаем, что существуют математические утверждения, которые невозможно доказать. Но мне этого мало. Мне нужно утверждение, достаточно истинное, недоказуемое и простое, чтобы его смогли понять не только математики, но и обычные люди. Вот оно.

Возьмем геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Это ряд чисел: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. д. Назовем их «числами первого ряда». Возьмем геометрическую прогрессию со знаменателем 5: 5, 25, 125, 625 и т. д. Назовем их «числами второго ряда». Можно взять любое число, например, 131072 (оно входит в первый ряд чисел), и записать его в обратном порядке: 270131. Мое утверждение таково: число, обратное числу из первого ряда, никогда не принадлежит к числам из второго ряда.