В 1962 г. окончил историко-филологический факультет Батумского государственного педагогического института им. Шота Руставели, получив специальность «преподаватель русского и английского языков», в 1984 г. – факультет планирования народного хозяйства Тбилисского государственного университета по специальности «экономист».
В 1962–1963 гг. работал педагогом в Батумском музыкальном училище, параллельно занимаясь комсомольской работой.
В 1962 г. Аслан Абашидзе был судим Верховным судом Аджарской АССР за незаконное приобретение и ношение огнестрельного оружия и «злостное хулиганство», выразившееся в нанесение гражданам Кахидзе и Дзнеладзе ранений из автоматического оружия. Осужден на 2 года лишения свободы, затем приговор заменили на аналогичный срок условного наказания (следует отметить, что в советский период подобные правонарушения, как правило, карались минимум 15 годами лишения свободы). Вскоре после снятия судимости Аслан Абашидзе становится членом Коммунистической партии и назначается директором профессионально-технического училища № 44 (позднее № 105), работая на этой должности до 1980 г.
В 1981 г. Аслан Абашидзе становится заместителем председателя исполнительного комитета Совета народных депутатов города Батуми.
В 1984–1986 гг. – министр бытового обслуживания Аджарской АССР, а затем – первый заместитель министра бытового обслуживания Грузинской ССР. В 1989 г. А. Абашидзе на базе министерства создал концерн бытового обслуживания населения и стал его президентом.
В 1991 г. Аслан Абашидзе занимает пост председателя Верховного Совета Аджарской Автономной Республики. Его политические оппоненты заявляют о грубых нарушениях законодательства. Согласно распространенной в Грузии версии, на этот пост А. Абашидзе был выдвинут первым президентом Грузии З. Гамсахурдиа, на решение которого повлияло происхождение Абашидзе.
После прихода Абашидзе к власти в Аджарии вопрос автономного статуса региона стал причиной порчи отношений между Асланом Абашидзе и Звиадом Гамсахурдиа. В Батуми последовали митинги сторонников Абашидзе с участием мулл, а вопросу упразднения автономии был придан характер антимусульманской кампании. Эти процессы увенчались смертью лидера аджарского отделения звиадистского «Круглого стола», заместителя председателя Верховного Совета Аджарии, бывшего советского диссидента и политзаключенного Нодара Имнадзе. Согласно распространенной в Грузии версии, Имнадзе застрелил лично Абашидзе в своем кабинете во время ссоры и последовавшей за ней перестрелки ночью 30 апреля 1991 г.
В 1991–1992 гг., во время свержения Звиада Гамсахурдиа и последующей в Грузии гражданской войны между звиадистами и осуществившим переворот Государственным советом, аджарское руководство во главе с Асланом Абашидзе заняло нейтральную позицию. В то же время остались свидетельства одного из лидеров Госсовета Джабы Иоселиани о том, что Абашидзе снабжал возглавляемую им военнизированную организацию «Мхедриони» («Всадники») оружием и боеприпасами.
28 сентября 1992 г. А. Абашидзе, постановлением Совета Министров Аджарии, фактически аннулировал зависимость экономических структур автономии от Тбилиси.
После прибытия из Москвы бывшего главы МИД СССР Эдуарда Шеварднадзе, который возглавил Госсовет, Аслан Абашидзе декларирует его поддержку, и в октябре 1992 г. они вместе принимают участие в выборах в блоке «Мшвидоба» («Мир»), который становится в Грузии парламентским большинством и в 1992–1995 гг. поддерживает все решения Шеварднадзе.
В 1990–1995 гг. А. Абашидзе одновременно являлся заместителем Председателя парламента Грузии.
7 октября 1993 г. Абашидзе, по собственной инициативе и, не консультируясь с Тбилиси, провел переговоры с лидером абхазских сепаратистов Владиславом Ардзинбой. Переговоры с Ардзинбой имели своим результатом освобождение грузинских военнопленных, захваченных абхазцами.
В 1991 г. Аслан Абашидзе основал политическую партию «Всегрузинский союз возрождения», которая в выборах парламента Грузии 1992 и 1995 гг. добилась большого успеха и создала сильную парламенскую фракцию. В декабре 1997 г. на IV съезде Всегрузинского союза возрождения было принято решение о его переименовании в Союз демократического возрождения Грузии.
10 июля 1999 г. в Батуми пять грузинских партий (Союз демократического возрождения, Народная партия, Союз грузинских традиционалистов, блок «XXI век» и Социалистическая партия Грузии) подписали Декларацию об основании политического альянса. Батумский политический альянс принял участие в парламентских выборах 1999 года в виде избирательного блока «Возрождение Грузии». Лидером блока был избран Аслан Абашидзе. На выборах 31 октября 1999 г. блок набрал 25,65 % голосов.
В конце 1990-х годов Абашидзе выступал против проведения учений НАТО в Аджарии, одновременно предоставляя максимально льготный режим дислоцированной около Батуми российской военной базе № 12.