Волшебный двурог

— Видишь ли, — ответил Радикс, — на небольшом участке псевдосферы хорошо видно, что два перпендикуляра расходятся, но дальше они начнут даже огибать поверхность снизу и где-то с нижней стороны пересекутся. Но не оттого, что они сходятся, а, наоборот, оттого, что они расходятся. Вообще надо иметь в виду, что только геометрия «куска» поверхности псевдосферы отвечает геометрии соответственного «куска» подлинной «плоскости Лобачевского»; вдобавок еще мешает «ребро» псевдосферы с нижней стороны. «Плоскость» же Лобачевского, как и наша обычная, простирается неограниченно во все стороны, и все направления на ней равноправны. Поэтому на плоскости Лобачевского получается такая картина.

Если взять секущую MN и в точке N провести к ней перпендикуляр АВ, а в точке М наклонять второй перпендикуляр, уменьшая его угол с секущей со стороны точки В, то наклонная, проходящая через точку М, начнет пересекать прямую АВ, только когда угол наклона станет меньше некоторого острого угла . Этот острый угол (он тем ближе к прямому, чем меньше расстояние MN) Лобачевский назвал углом параллельности, а наклонную в том крайнем положении, когда она еще не пересекается с перпендикуляром АВ, он назвал проходящей через точку М параллельной к АВ в сторону В. С другой стороны секущей получается та же самая картина. Крайнее положение наклонной, при котором точки пересечения еще нет, и будет второй «параллельной»

— 279 —

Лобачевского — параллельной в «другую сторону». Поэтому на нашем чертеже все прямые Лобачевского, проходящие через точку М, разделяются двумя параллельными — «в сторону A» и «в сторону В» — на две категории. Одни, образующие с перпендикуляром NM угол, меньший «угла параллельности» , пересекают прямую АВ. Другие, образующие с перпендикуляром прямой или хотя и острый, но больший угла параллельности угол, проходят между двумя «параллельными» и не пересекают прямой АВ ни с той, ни с другой стороны. Они называются расходящимися с прямой АВ. Параллельные, конечно, тоже не пересекаются с АВ, но они выделяются из числа всех не пересекающихся с АВ прямых, проходящих через точку М, как раз тем, что положение параллельности — крайнее, при котором нет точки пересечения: две параллельные отделяют, таким образом, все пересекающие прямые от расходящихся. В отличие от геометрии Евклида, сумма внутренних односторонних углов, образованных параллельной в данную сторону с секущей, меньше двух прямых, так как угол параллельности острый. Величина этого угла зависит от расстояния MN. Еще греки, по всей вероятности, догадывались о таких возможностях.

— Значит, — решил Илюша, — это гораздо хитрее того, что мы учим в школе о параллельных?

— Ну еще бы! — отвечал Радикс. — Если бы это было то же самое, так ведь тогда и говорить было бы не о чем.

— Какая же она, однако, удивительная, эта геометрия! — задумчиво произнес Илюша.

— Если хочешь знать, — отозвался Радикс, — сферическая геометрия еще удивительнее «воображаемой», только мы

— 280 —

к ней более привыкли благодаря тому, что глобус стал нам приятелем со школьной скамьи, если не раньше. А если подумать, то нетрудно убедиться в этом. Сравни хотя бы такие обстоятельства. Прямая у Евклида безгранична, у Лобачевского тоже, а на сфере она (например меридиан) не только не безгранична, но еще и замкнута.

— Да! — отвечал Илюша. — А ведь действительно так!

— Насчет же всяких неожиданностей в «воображаемой» геометрии, так я могу тебе подарить на память еще один такой случай. Если ты возьмешь на плоскости Лобачевского окружность, разделишь ее на несколько равных частей и в точках деления проведешь касательные к этой окружности, то они образуют многоугольник только в том случае, если радиус окружности очень невелик, а в противном случае они вовсе не встретятся и не пересекутся.

— Мы можем, — добавил Асимптотос, — показать тебе еще кое-что по поводу треугольников Лобачевского, но только это будет потруднее. И нам кое в чем придется с тобой условиться.

— Как это условиться? — спросил Илюша.

— Вот как. Мы знаем, что роль «прямых» на сфере играют дуги больших кругов. А теперь мы условимся считать «прямыми» на сфере не дуги больших кругов, а дуги некоторых других кругов. Мы начнем с того, что рассечем сферу пополам. Положим полусферу на плоскость сечением вниз. А далее согласимся считать дуги кругов, плоскость которых перпендикулярна к той плоскости, на которой лежит наша полусфера, прямыми. Надеюсь, что ты понял меня?

— Но ведь можно «условиться» о чем угодно! — сказал в недоумении Илюша. — Захочу и «условлюсь», что у меня семь равняется нулю. Так что ж, так и будет?