Волшебный двурог

Асимптотос похлопал рукой по краю полусферы, и она тут

— 288 —

же превратилась в целую сферу, то есть на лежащей ее половине тотчас же выросла и вторая (верхняя) половина шара. Теперь у этой сферы было два полюса — южный (старый) и северный (новый, верхний). Коникос принес откуда-то маленькую ярко светящуюся точку и положил ее на северный полюс сферы. В светлице стало темно, и лучи ярко светящейся точки северного полюса бросали резкие тени. На полу под сферой эти лучи сейчас же отчетливо нарисовали тень экватора, которая, конечно, оказалась правильным кругом. А внутри этого круга, разумеется, нарисовалась, отступя на некоторое расстояние от окружности, и тень ниточного треугольника.

— Смотри хорошенько! — произнес Коникос. — Видишь, как легли на полу тени тех следов, которые нацарапали на стекле полусферы пульки.

Это, конечно, и было самое интересное в этом волшебном опыте! Илюша заметил без особого труда, что следы пуль Коникоса рисуются на полу, как дуги кругов, перпендикулярных к тени экватора. Они и образовывали на полу своеобразный треугольник с вогнутыми внутрь сторонами. А треугольник этот был как бы «вписан» в самый обыкновенный евклидов равносторонний треугольник, который был тенью ниточного треугольника.

— Ну-с? — произнес Радикс.

И в тот же миг стало опять совершенно светло, а сфера и сияющая полярная точка исчезли. На полу остался лежать очень четкий чертеж круга и двух треугольников внутри его. Теперь уж не было никаких сомнений в том, что эти не-евклидовы углы много меньше евклидовых. Сумма углов равнялась 110°.

— Хорошо! — сказал Илюша. — На этом-то чертеже совершенно ясно, что углы не-евклидова треугольника гораздо меньше. Но разве тени следов пуль образуют те же углы, как и самые следы?

— Видишь ли, — терпеливо отвечал ему Радикс, — вообще, разумеется, не те же. Однако, если по отношению к лучу света плоскость угла отклонить в одну сторону, а плоскость, на кото-

— 289 —

рую ложится тень, — в другую, так, чтобы обе эти плоскости образовали с лучом светящейся точки равные углы, то тени дадут тот же самый угол, который и был у тебя. Попробуй-ка начерти сечение нашей сферы по меридиану и выясни, какие получатся углы. Ты без особого труда, я полагаю, убедишься, что в нашем случае углы будут в точности одинаковые… Следует еще помнить о том, что, имея дело с геометрией сферы, необходимо принимать во внимание ее размеры: именно это и определяет ее кривизну, как и для псевдосферы, то есть и для «воображаемой» геометрии. Сам Лобачевский полагал, что только физико-астрономические опыты могут дать нам материал для суждения о том, какая именно геометрия свойственна нашему пространству, в котором мы существуем. Поэтому тот, кто скажет, что великий русский геометр подходил к геометрии «как естествоиспытатель», будет очень близок к истине. Современные ученые полагают, что Лобачевский был прав в своих догадках: действительно, в некотором смысле геометрия нашего мирового пространства — это не-евклидова геометрия, хотя она и не совсем такая, как геометрия Лобачевского. А теперь, чтобы ты мог себе уяснить с помощью некоторой особой аналогии этот взгляд на геометрию, а вместе с тем познакомился и с другим примером осуществления геометрии Лобачевского, вспомним прежде всего, что геометрии на малых участках будут очень мало отличаться друг от друга, на чем бы они ни были — на плоскости, сфере или псевдосфере.

— Конечно, — отвечал мальчик, — небольшой кусочек сферы или псевдосферы трудно было бы отличить от плоскости.

— Вот, — продолжал Радикс, — если ты сообразишь, что измеряемые нами обычно расстояния слишком малы и не дают вообще возможности отличить свойственную нашему миру геометрию от евклидовой, то тебе станет ясной идея Лобачевского — решить вопрос о нашей геометрии с помощью астрономических опытов. Это раз. А затем скажи мне: сумеешь ли ты отличить дугу окружности от прямой?

— Еще бы! — отвечал, улыбаясь, Илюша. — Дуга имеет кривизну, а прямая нет.

— Ясно. Но вот представь себе: я начерчу на протяжении тридцати сантиметров дугу окружности радиусом длиной в несколько километров. Что ты тогда скажешь?

— На таком маленьком участке, пожалуй, никак не отличишь, — согласился Илюша. — Но ведь если дугу эту сделать не в тридцать сантиметров, а побольше, то сразу станет видно.

— Постой! — прервал его Радикс. — Именно этого мы сейчас делать и не станем. Будем рассматривать геометрию на небольшом участке плоскости, но вместо прямых будем проводить окружности очень больших радиусов. Для примера пусть

— 290 —

радиусы будут длиной около пяти километров, а мы будем при помощи таких радиусов чертить фигуры на обыкновенной классной доске. Вряд ли ты заподозришь, что они не проведены с помощью самой обыкновенной линейки.

— Наверно, нет! — усмехнулся Илюша.

— Сверх этого, мы будем все эти окружности чертить не как-нибудь, а с соблюдением некоторого особого условия: возьмем какую-нибудь очень далеко отстоящую от нас прямую и будем все центры окружностей выбирать на этой прямой.

— Очень далеко, — сказал Илюша, — то есть около пяти километров?