Волшебный двурог

 меньше пяти тысячных. Опять для целей строительства — прекрасное приближение! Но и в этом вопросе, который оброс в Древней Греции разными легендами и широко обсуждался, древнегреческий ученый действует по-особому. И для куба Гиппократ Хиосский вводит в пропорцию еще одну величину, у, причем он допускает, что между х и у соблюдается то же соотношение, что и между а и х. Строится пропорция

а : х = х : у = у : b,

откуда

x² = ay; y² = xb; x⁴ = a²y² = a²xb;

Положив теперь b = 2а, мы и получаем искомое решение:

х³ = 2а³; 

— А тут я чего-то, наверно, не понимаю, — признался Илья. — Зачем же Гиппократу понадобились все эти сложности[24] с его пропорцией? Ведь то, что ты называешь решением, то есть равенство х³ = 2а³, можно прямо написать из условий задачи. Для чего здесь нужна была эта длинная пропорция?

— Видишь ли, чтобы сообразить, зачем Гиппократу понадобилась эта сложная пропорция, надо вспомнить, что греки не располагали современной символикой. Это ты теперь можешь написать сразу:

а у греков пропорция была единственным способом для построения кратных соотношений между величинами. Следы этого громоздкого пропорционального подхода к подобным вопросам можно заметить вплоть до семнадцатого века вашей эры. Гиппократ придумал нужную пропорцию, и заслуга его в том, что он формулировал решение задачи, то есть он «составил уравнение», которое должен был далее решить геометрически, построением. Но Гиппократу это все-таки не удалось. Он только указал общий принцип решения. Решили эту задачу другие греческие математики, в том числе Менехм, ученый, который много занимался коническими сечениями (так что три эти сечения даже назывались в его честь «триа—

— 308 —

дой Менехма»). Это решение представляет собой нечто более сложное, нежели известное тебе построение средней пропорциональной. Искомый отрезок х строится при помощи двух пересекающихся парабол, поскольку парабола имеет близкое отношение к средним пропорциональным.

Параболы:

х² = аy; y² = аx;

Ищется средняя пропорциональная между a и 2a.

Впрочем, другие математики древности дали иные решения, не менее остроумные, и подошли впервые к решению кубического уравнения. Рассказ об этой задаче очень популярен среди ученых Возрождения, и для нас интереснее всего то, что принцип Гиппократа и всех, кто шел по его пути, представляет собой не только решение одной-единственной задачи, а является решением определенного типа задач на две средние пропорциональные. Этот вывод уже греческий.

— Это справедливо, — заметил Асимптотос, — но вот что еще можно отметить. Греческая разработка древневосточной науки привела постепенно греков к убеждению, что геометрия покоится на некоторых общих положениях, из которых путем ясного, простого и последовательного рассуждения можно вывести все важнейшие теоремы. Самые размышления стали глубже и проще: вместо того, чтобы покоряться неведомым силам природы, человек стал доискиваться их причин и мало-помалу пришел к заключению, что мировой порядок может быть изложен при помощи вычислений, то есть математически.

Разумеется, успехи вавилонских вычислителей-астрономов очень помогли этому. В Греции возникла пифагорейская школа мыслителей, которая учила, что все на свете определяется числом, причем целым. Значение этой школы в том, что она утверждала; мировой порядок есть нечто от человека не зависящее, что законы природы представляют собой не просто что-то таинственное, но нечто сложное, однако постижимое для человека. И вот при разработке этого учения древние мыслители столкнулись с явлением, которого не знал Древний Восток, — с иррациональностью, которая никакими числами точно выражена быть не может. Это открытие разрушило веру в целое число, а с другой стороны, показало, что геометрия в некотором смысле сильнее арифметики, ибо построить корень из двух нетрудно, а вычислить невозможно.

— 309 —

— Значит, — решил Илья, — это и было одним из завоеваний новой науки?

— Конечно! — ответил Радикс. — Иногда оно выражалось очень странно. Например, утверждали, что геометрия великая наука, а простой счет, которым люди пользуются на базаре, — нечто жалкое и убогое…

— Теперь понять это нетрудно, а тогда… — продолжал Коникос. — Греки постепенно создали такую геометрическую алгебру, где при помощи построений решались довольно сложные задачи. Причем весь ход решения, все рассуждения от начала до конца можно было проследить, обдумать и провести с точки зрения логики точно и ясно. Ясное размышление и точное доказательство — вот драгоценный вклад Древней Греции в математику.

— Но ведь все нельзя точно доказать? — усомнился Илюша. — Многое люди делают и без доказательства.