Волшебный двурог

— По теореме Виеты выходит. И сумма корней равна нулю! Попробую проверить значения корней. Для этого я буду придавать иксу целочисленные значения от минус шести до плюс шести и посмотрю, где кривая пересечет ось абсцисс.

Илюша так и сделал. Получилась табличка, а за ней и кривая, которую можно разглядеть на чертеже[38].

x	x3	- 15x	Свободый член	Сумма
- 6	- 216	+ 90	- 4	- 130
- 5	- 125	+ 75	- 4	- 54
- 4	- 64	+ 60	- 4	- 8
- 3	- 27	+ 45	- 4	+ 14
- 2	- 8	+ 30	- 4	+ 18
- 1	- 1	+ 15	- 4	+ 10
0	0	0	- 4	- 4
+ 1	+ 1	- 15	- 4	- 18
+ 2	+ 8	- 30	-4	- 26
+ 3	+ 27	- 45	- 4	- 22
+ 4	+ 64	- 60	- 4	0
+ 5	+ 125	- 75	- 4	+ 46
+ 6	+ 216	- 90	- 4	+122

— 439 —

— Ишь как хорошо вес выходит! — воскликнул Илюша, закончив табличку. — На четверке нуль…

— Сделаешь верно, и получается хорошо, — заметил Радикс.

— А те два других корня по чертежу тоже очень хорошо подходят. В порядке! И действительно, кривая три раза пересекает ось абсцисс.

— Как ей и положено, — закрепил Радикс. — Рафаэль Бомбелли был человек способный, ученый и даже удачливый: говорят, именно ему удалось разыскать на полках громадной Ватиканской библиотеки рукопись творений грека Диофанта Александрийского, с которых и началась теория чисел, высшая арифметика. Возможно, что Диофант в решении с Кардановой формулой навел Рафаэля Бомбелли на кое-какие полезные мысли.

Тут Радикс продекламировал такой стишок:

Вдоль по плоскости кривая
Очень правильно бежит,
Ось абсцисс пересекая,
Где корням быть надлежит!

— Там, где быть им надлежит, там как раз и пробежит! — поддакнул Мнимий.

Радикс проговорил скороговоркой еще стишок:

Как-нибудь уж, в самом деле,
Разберемся еле-еле
И рассмотрим все точь-в-точь,
Если нам синьор Бомбелли Догадается помочь…

И все весело рассмеялись. А Мнимий добавил:

— Надо вам знать еще, что неожиданные и своеобразные разоблачения Бомбелли в те времена скорее привели в недоумение ученых, чем направили их к новым исследованиям. И когда через некоторое время Виета обнаружил, что «неприводимый» случай Кардана можно разрешить тригонометрическим путем (как решение задачи о трисекции угла), то это, наверно, показалось облегчением (впрочем арабские математики нашли это решение примерно еще за целый век до Виеты). Однако трудно сказать, имело ли это какое-нибудь значение, ибо замечательная работа Бомбелли в свое время не была напечатана, хотя была известна и ее изучали крупные ученые. Любопытно, что в те времена были уверены, что

— 440 —

Виета открыл что-то совершенно новое, хотя на самом деле в решении Виеты новыми были только подстановки.

— Но я не знаю, как у Виеты получилось с трисекцией угла и с тригонометрическим решением.

— Неужто? — удивился Радикс. — Так сейчас узнаешь! Виета напал на счастливую мысль привлечь к вопросу о решении кубического уравнения тригонометрические функции. Мы как будто в прошлой схолии рассматривали, что получается, если возвести комплексное число в квадрат. Из этого примера ясно, кстати, что одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам действительных, ибо действительную и мнимую часть правой части равенства можно рассматривать по отдельности. Согласен?

Илюша задумался.

— Кажется… да!

— Если так, то мы начнем с формулы для косинуса двойного угла. Так или нет? Помнишь?

— Так, как будто. И она будет:

cos 2 = cos² — sin² .

— Хорошо. Не спорю. А теперь перемножение комплексных чисел (единичных комплексных векторов) из предыдущей схолии повторим еще раз с тем отличием, что наши комплексные множители будут иметь разные аргументы, то есть разные углы. Что мы получим?

Илюша тотчас выполнил это умножение и получил.

cos ( + ) = cos cos — sin sin .

— Ну, а теперь у нас есть все для того, чтобы на основании этих двух формул написать еще формулу для косинуса троекратного угла, то есть для cos (2 + ), или в результате cos З.

На этот раз Илюша не очень долго возился, но все-таки помучился. Радикс напомнил ему, что ведь «без труда и рыбку не вытащишь из пруда», а не то что косинус троекратный!

И наконец получилась вот какая формула:

cos З = 4 cos³ — 3 cos .

— Вот теперь все, что надо, у нас есть, и мы можем спокойно продолжать наши рассуждения. Попрошу вас только еще заменить cos a на х и написать в обычном для уравнения виде так, чтобы правая часть равнялась нулю, тогда как cos За будет у нас называться а.

— 441 —

Это задание было совсем уж простое, и Илюша написал.

4x³ — 3x — a = 0

— Так ведь это получилось кубическое уравнение и как раз такое, какое мы получали, когда уничтожили член с неизвестным во второй степени.