Волшебный двурог

— Пусть так, — согласился Радикс. — А потом вот еще что. Чтобы подчеркнуть, что эти окружности заменяют нам прямые (они у нас так и будут называться «прямые», в кавычках), будем называть линию их центров «бесконечно удаленной» в нашей геометрии.

— Ну да, — подхватил Илюша, — ведь, вероятно, потому, что дуга окружности тем больше похожа на прямую, чем больше ее радиус, иногда и говорят, что прямая — это окружность бесконечного радиуса?

— Именно поэтому! — отвечал Радикс. — А теперь давай рассмотрим, какая геометрия получится на большом расстоянии от нашей «бесконечно удаленной» прямой. Начнем с того, что выясним, можно ли в таких условиях провести через две данные точки одну «прямую», и только одну.

— Да ведь это сводится к задаче провести через две данные точки окружность, центр которой лежал бы на данной прямой? Это очень просто сделать.

— Ну, а будет ли в нашей геометрии «прямых» правильно, что две прямые пересекаются в одной точке?

— Если, — сказал, подумав, Илюша, — мы будем рассматривать все только по одну сторону от линии центров, то есть только полуокружности, да еще без их крайних точек, потому что они ведь тоже попадают на эту «бесконечно удаленную» прямую (я думаю, мы можем ее считать просто для нас недоступной), то, разумеется, две полуокружности могут пересечься только в одной точке.

— Видишь, ты и сам замечаешь, что наши «прямые» этими своими свойствами, как, впрочем, и многими другими, не будут отличаться от обыкновенных евклидовых прямых, а на малом участке вдали от центров ты и по виду их от прямых не отличишь. Тебе будет казаться, что ты имеешь дело с обыкновенной геометрией Евклида. Там можно строить треугольники, восстанавливать и опускать перпендикуляры и так далее. Однако если спросить, сколько «прямых», не пересекающих данную, можно провести через точку вне этой прямой,

— 291 —

Через всякие две точки М и N можно провести одну, и только одну, «прямую».

Две «прямые» могут пересекаться только в одной точке.

то хотя на глаз на малом участке будет казаться, что все обстоит так же, как обычно, но на самом деле именно здесь-то и обнаружится, что в действительности наши «прямые» подчиняются не законам Евклида, а законам геометрии Лобачевского.

— Как же это так получается? — спросил удивленный Илюша.

— Посмотри внимательно на чертеж! Вспомни, что мы с тобой условились рассматривать только часть площади по одну сторону от линии центров, которую мы к нашему пространству не причисляем, считая ее геометрическим местом «бесконечно удаленных» точек нашей геометрии. Если дана «прямая» АВ, то есть полуокружность с центром в точке С «бесконечно удаленной» линии, и точка М, не лежащая на АВ (скажем для определенности, расположенная на большем расстоянии от С), то получится вот что: кроме полуокружности радиусом СМ, можно провести через точку М любое количество «прямых», не пересекающихся с «прямой» АВ, слегка смещая центр из точки Спо горизонтали и соответственно изменяя радиус.

— Хорошо, — сказал Илюша, — это я теперь понимаю. А какие же «прямые», проходящие через точку М, будут параллельными по геометрии Лобачевского к «прямой» АВ?

— Припомни, что параллельные отделяют непересекающиеся, то есть «расходящиеся» с данной, «прямые» от пересекающих ее. Такими, очевидно, и будут «прямые», изображаемые теми двумя полуокружностями, которые встречают данную полуокружность именно на «бесконечно удаленной» прямой.

То есть это будут те именно полуокружности, которые касаются данной полуокружности слева и справа на линии центров, образуя с ней в точках касания нулевые углы. Если ты построишь два перпендикуляра к какой-нибудь «прямой» АС, то легко убедишься, что они будут «расходящимися».

— 292 —

Прямоугольный треугольник ABC.

— Так, — сказал Илюша. — Действительно не очень-то все это просто! А как же насчет суммы углов треугольника?

— Возьми чертеж, на котором две полуокружности равных радиусов почти касаются друг друга. Угол, образуемый ими в их невысоко расположенной точке пересечения, будет невелик, хотя и больше нуля. В остальных же двух точках пересечения, образованных третьей полуокружностью, получаются углы, близкие к шестидесяти градусам. Таким образом, сумма углов будет немногим больше ста двадцати градусов вместо ста восьмидесяти градусов. На маленьком треугольнике этого нельзя заметить так отчетливо.

Через точку М проведено несколько «прямых», не пересекающих «прямую» АВ.

— 293 —

«Прямая» А′В′ параллельна АВ, в сторону А; «прямая» А′′В′′ параллельна АВ в сторону В. «Прямые», проходящие внутри углов А′МА′′ и В′МВ′′, «расходятся» с АВ. «Прямые», проходящие внутри углов А′МВ′′ и В′МА′′, пересекают АВ.

— Потому что они похожи на евклидовы и в них сумма углов почти равна ста восьмидесяти градусам! — воскликнул Илюша. — Кажется, я начинаю наконец разбираться понемногу…

Тут Илюша снова откуда-то услыхал звуки флейты Фавна.

Обернувшись, он увидел, что его хитрая рожица выглядывает из-за уголка цветной занавеси домика. Он протягивал Илюше правую руку и манил его к себе левой.