Воспоминания

1. Рассмотрим бесконечную последовательность чисел вида a_n = n! + 1. Доказать, что последовательность содержит бесконечное число простых чисел. Дать оценку числа простых чисел S(n), содержащихся в первых n членах последовательности.

При эвристическом рассмотрении этой задачи (и ее вариантов и обобщений) я использовал полуинтуитивное понятие вероятности того, что некоторое число является простым числом; необходимо также учесть, что число вида a_n, безусловно не делится ни на одно простое число, меньшее чем n. Этот ход рассуждений далек, конечно, от требований математической строгости. Я не знаю, известно ли более строгое рассмотрение проблемы.

2. Рассмотрим последовательность Фибоначчи с законом построения a_n+1 = a_n + a_n-1 и начальными членами a₁ = 1, a₂ = 1. Доказать, что среди чисел a_n, есть кратные любого целого числа m. Показать, что при изменении начальных чисел a₁, a₂ это утверждение не обязательно справедливо.

Вот еще одна любительская задача, придуманная в 1985 году, когда меня во время голодовки насильно удерживали в Горьковской областной больнице и подвергали принудительному кормлению. Я подолгу смотрел на висящие на стене часы; иногда по ночам, в больничном полумраке, стрелки в моих глазах казались то длинней, то короче, и мне было трудно понять, которая из них часовая, какая минутная. Итак, задача:

3. Рассеянный часовщик. Часовщик по ошибке укрепил на часах (с 12-часовым циферблатом) две стрелки одинаковой длины. В некоторые моменты из-за этого возникает неопределенность, двузначность в отсчете времени. Указать все эти «особые» конфигурации.

Мне потом сказали, что эта задача уже известна и описана в научно-популярном журнале.

А вот еще одна придуманная мною любительская задача более раннего времени:

4. Двое играют в «бой яиц». Перед ними стоит корзина с яйцами. Они наугад берут по яйцу и ударяют их носами. Разбитое яйцо выбрасывается и побежденный берет новое, а победитель раунда сохраняет свое яйцо для следующего раунда (предполагается, что победившее яйцо сохранило свою прочность и что исход каждого раунда зависит только от относительного качества яиц). Спрашивается: какова вероятность победы в (n + 1)-м раунде после победы в предыдущих? Ответ: 1 — 1/(n+2).

* * *