Вселенная Разумная

С другой стороны, постоянно следовали попытки представления математики в виде полностью замкнутой и непротиворечивой формализованной системы, то есть разрешения той проблемы, которую в форме шутливого парадокса представил Рассел: математики обычно говорят так — если верно то, то верно и это; таким образом, математики никогда не знают, о чем они говорят, и верно ли то, о чем они говорят. Тем не менее, появившиеся в начале нынешнего столетия работы Рассела и Уайтхеда, а также Гильберта были последними попытками обоснования математики путем ее полной формализации: эти программы оказались невыполнимыми.

В 1931 году Куртом Геделем была доказана знаменитая теорема о неполноте достаточно богатых формальных систем и о невозможности доказательства непротиворечивости системы с помощью средств, формализуемых в этой системе. Тем самым теорема Гёделя утверждает принципиальную невозможность полной формализации научного знания: если формализуется достаточно богатая содержанием теория, то она не может быть полностью отображена в формальной системе — в полученной теории всегда остается невыявленный, неформализуемый остаток. Это несоответствие и выражается обычно в обнаружении неразрешимых в рамках данной формальной системы предложений, имеющих форму антиномий или парадоксов. Теоретически преодоление этих трудностей возможно путем создания новых формальных систем исчисления — метасистем, или метатеорий, более богатых, чем предшествующая или исследуемая система. В соответствии с теоремой Гёделя, метатеория порождает новые парадоксы, для разрешения которых необходимо построение еще более содержательной теории — и так до бесконечности, никогда не достигая, впрочем, абсолютной полноты.

Еще более сложна ситуация в науках неточных. Их широкая аксиоматика, многозначность и неопределенность отношений смысл — имя, богатая терминология делают эти науки принципиально неформализуемыми методами современной науки. Некоторая видимость прогресса, достигнутая в формализации таких, ранее сугубо описательных наук, как биология или экономика, вызвала было волну оптимизма и веры во всесилие формальных методов, которая довольно-таки быстро спала, сменившись разочарованием.

Причин тому можно назвать несколько, но основной, видимо, следует считать то огрубление, упрощение, искажение истинной картины явлений, которое свойственно всем известным методам формализации. Точные науки описывают мир механический, мир точных и неизменно повторяющихся траекторий, и не имеет значения, описывается ли движение математической точки или конгломерата точек-индивидуальностей, которые описываются среднестатистически, что, кстати, используется и в методах социологических исследований. В качестве примера растущих со сложностью системы проблем, связанных с формализацией, можно назвать уже упоминавшиеся попытки И. Р. Пригожина распространить аппарат разработанной им теории самоорганизации на биологические системы.

В рамках наук, занимающихся изучением подобных систем, проводятся операции с символами, не имеющими однозначного смысла. Кроме того, аксиоматическая база таких наук основана на значительном числе постулатов, к тому же носящих зачастую конвенционалистский характер, то есть опирающихся на общепринятые в той или иной общности людей культурные или национальные стереотипы и традиции. Доводом, считающимся, кстати, самым сильным в пользу принятого в данной естественнонаучной и мировоззренческой системе набора постулатов, является «практический опыт человечества» и «здравый смысл». Ценность подобных доводов, наверное, сомнительна: когда-то «здравый смысл» свидетельствовал в пользу гипотезы плоской Земли…

Бездоказательность аксиоматических утверждений имеет не только чисто теоретические следствия, но очень часто приводит к трагическим результатам. Вся история Земли прямо-таки насыщена примерами применения принятой с давних пор и, к сожалению, бытующей и сейчас методики доказательств «огнем и мечом» превосходства постулатов одной религии над другой: религиозные мракобесы и изуверы, ведя за собой темные толпы обманутых людей, вдалбливали и продолжают вдалбливать в самом прямом смысле этого слова в головы друг друга свои идеи, считая их единственно правильными. И подобная борьба характерна не только для религии, ибо, как сказал один удивительный писатель, «и в миру не терпят тех, кто подвергает сомнению основополагающие учения, ведь любая идеология претендует на обладание конечной истиной».

История философии, например, хотя и не изобилует обильными кровопролитиями, но, тем не менее, являет собой ту же картину тысячелетних попыток доказательства принципиально недоказуемого.