Вся физика в 15 уравнениях

Другой момент, который я нахожу немного разочаровывающим в данном законе, — это обратно квадратичная зависимость силы F от расстояния между телами d. Если не задумываться глубоко, то наивному поверхностному взгляду зависимость вида 1/d² кажется замечательной, как будто она раскрывает прекрасную и фундаментальную истину. Но в действительности это лишь самая тривиальная форма зависимости силового воздействия, оказываемого объектом на другие удаленные объекты, от расстояния.

И вот почему. На достаточно большом расстоянии любой действующий объект может рассматриваться как точечный. Представим себе сферу радиуса d с центром на объекте. Площадь поверхности сферы: S = 4πd². Таким образом, если мы увеличим радиус сферы в два раза, ее площадь увеличится в четыре раза. Это как раз дает обратно квадратичную зависимость силы от расстояния. Тот факт, что сила притяжения, действующая на объект на расстоянии d, уменьшается, просто означает, что влияние объекта равномерно распределяется в пространстве. Интуитивно ясно, что на бóльшем расстоянии влияние слабее. Оно ослабевает потому, что количество точек на большой поверхности возрастает, как количество точек на поверхности сферы бóльшего радиуса. Короче говоря, зависимость вида 1/d² является наиболее тривиальной формой зависимости силы от расстояния, которую можно представить для точечных объектов. Действительно, абсолютно аналогичный закон описывает силу между двумя электрическими зарядами:

Этот закон был открыт Шарлем Августином де Кулоном намного позднее закона всемирного тяготения, в 1785 г., и назван в его же честь законом Кулона.

Закон… скрывающий невежество?

Несмотря на точность и огромный успех, законы Ньютона и Кулона в первую очередь выражают… невежество! Я не знаю, что такое масса или электрический заряд. У меня нет ни одной толковой идеи ни об их происхождении, ни о внутреннем механизме их действия. Но я могу собрать влияние гравитации объекта в одну величину: его массу. Форма этого влияния наиболее просто выражается как функция расстояния. Аналогичным образом мы поступаем в случае электрического заряда и электрических сил.

Со временем теория относительности наделила гравитацию более амбициозной ролью. Масса, энергия и форма пространства-времени были объединены друг с другом в рамках одной непротиворечивой системы. Теория относительности Эйнштейна перешагнула ограничения «простого» принципа объединения гравитационных свойств тела в единственный параметр массы. Как мы увидим позднее, из нового понимания тяготения как свойства пространства-времени возникли совершенно новые неожиданные объекты, именуемые «черными дырами».

E pur, si muove[6]!

Поскольку все это я осознал спустя довольно длительное время, после того как впервые встретился с законом тяготения Ньютона, было бы нечестным притворяться, что этот закон мне никогда не нравился из-за не по годам развитой интуиции. Тогда почему? Возможно, потому, что когда закон тяготения преподают в школе, его уравнение оказывается просто бесполезным, так как школьники практически не в состоянии использовать его! Я имею в виду действительно использование с теми самыми целями, для которых он был применен Ньютоном и его последователями: предсказывать движение планет, хотя бы нашей старой доброй Земли.

Проблема выглядит простой. Нам доступны два инструмента: с одной стороны, второй закон Ньютона F = ma, с другой — закон обратных квадратов для силы, действующей между планетой и Солнцем. Гравитационная сила, с которой Солнце и Земля притягиваются друг к другу, равна:

Именно эта сила и влияет на планеты, заставляя их совершать круговое равноускоренное движение в соответствии со вторым законом Ньютона. Движение Земли в системе, состоящей только из Солнца и Земли, подчиняется уравнению:

Здесь y — ускорение Земли с учетом его направления, а d — расстояние от Земли до Солнца. Решение этого уравнения позволяет определить параметры движения Земли, форму ее орбиты и скорость в каждый момент времени, интервалы времени, когда Земля приближается или отдаляется от Солнца.