Введение в логику и научный метод

Мы уже обращали внимание читателя на то обстоятельство, что в современной математике реальные определения являются неявными, поскольку субъект определяется в терминах аксиом, которым он должен удовлетворять. Следовательно, зачастую случается так, что несколько терминов должны быть определены не по отдельности, а как находящиеся друг с другом в определенных отношениях. Так, в работах Гильберта по основаниям геометрии точки, прямые и плоскости рассматриваются как неопределяемые элементы. Однако они неявно определяются аксиомами. Эти аксиомы устанавливают отношения, которые должны существовать между точками, прямыми и плоскостями, взятыми сами по себе, а также отношения между точками и прямыми, точками и плоскостями и т. д. Однако независимо от того, является определение явным или неявным, оно должно быть выбрано так, чтобы признаки, присущие определяемым вещам, были формально выводимыми из этого определения.

2. Если определяемый термин или его синоним оказываются в определяющем выражении, то, с логической точки зрения, никакого продвижения в определении термина достигнуто не было, даже если психологическая цель определения при этом достигнута. Так, если «смелость» определяется через свой синоним «храбрость», то это может некоторым образом прояснить для нас значение слова «смелость», если мы лучше знакомы со значением слова «храбрость». Однако реальная эффективность данного определения имеет лишь вербальный характер, поскольку структура термина «смелость» (т. е. то, что он обозначает, а не сам термин) остается не проанализированной. Подобные тавтологические определения иногда остаются незамеченными. Наше правило нарушается, например, если «Солнце» определяется как «звезда, светящая днем», т. к. само слово «день» определяется в терминах светящего Солнца.

Иногда может казаться, что в определении имеет место нарушение указанного правила, хотя на самом деле этого не происходит. Известным примером тому является определение термина «число», предложенное Расселом. Согласно Расселу, «число – это все, что является числом некоторого класса». Здесь «число» определяется как «число некоторого класса». Определение не нарушает данного правила потому, что определяемым выражением является «число» или «число вообще», а определяющее выражение содержит термин «число некоторого класса». Определения подобного рода часто встречаются в математике. Так, последовательность

u 0 + u 1 + u 2 + … + un

определяется как сходящаяся, если последовательность

S0 = u0, S1 = u0 + u1, S2 = u0 + u1 + u2,

Sn = u0 + u1 + u2 + … + un

является сходящейся.

3. Разумеется, предпочтительнее определять вещь в терминах того, чем она является, чем в терминах того, чем она не является, поскольку, как правило, указание на то, чем вещь не является, не позволяет в достаточной мере отграничить ее от других вещей. Так, определение наручных часов (watch) как хронометра, не являющегося настенными часами (clock), не будет удовлетворительным, если существуют и другие хронометры помимо наручных и настенных часов. Однако важно не переоценить данное правило, ибо в некоторых случаях определение вещи в терминах того, чем она не является, может оказаться адекватным. Так, определить неравносторонний треугольник как треугольник, который не является ни равносторонним, ни равнобедренным, значит идеально отграничить неравносторонние треугольники от всех остальных, с условием того, что указана геометрическая система, в которую включен данный треугольник. В некоторых случаях отрицательные определения становятся неизбежными. Так, определение сироты как ребенка, у которого нет родителей, с необходимостью должно состоять из отрицательных терминов, ибо состояние сиротства является отрицанием состояния обладания родителями. Читатель без труда сможет указать и на другие примеры подобных терминов, например, на термины «независимость», «параллельный», «банкрот», «неплатежеспособный». Более того, вопрос о том, считать ли определение отрицательным или положительным, зачастую зависит от языковых конвенций. Некоторые языки могу обладать положительным термином для выражения определенной идеи, тогда как в других эта же самая идея будет выражена в отрицательном термине. Следовательно, определение может выглядеть отрицательным только потому, что один из составляющих его терминов по своей форме является отрицательным. Так, определить пьяницу как человека, который несдержан в выпивке, не означает нарушить указанное правило, ибо несдержанность (intemperance) сама по себе определяется в терминах злоупотребления спиртным.

4. Главная опасность, содержащаяся в определениях, выраженных метафорическим языком, заключается в том, что метафоры могут наводить на значения, которые вовсе и не предполагаются в определении. Так, определение слова «король» термином «кормчий государства» может вводить в заблуждение, поскольку порождает мысль о том, что король может управлять судьбами нации, согласно предначертанному курсу.