Введение в логику и научный метод

История неевклидовой геометрии началась тогда, когда было получено ясное представление об этом простом логическом принципе. Уже Саккери, итальянский математик XVII века, обладал знанием данного принципа. Сделав допущение, противоположное пятому постулату Евклида, он получил множество теорем, которые сегодня известны как «неевклидовы геометрии». Однако по неизвестной причине он пришел к выводу о том, что такая геометрия является самопротиворечивой; возможно, потому, что многие из полученных им теорем были формальными противоречиями теорем Евклида. Если причина его отказа от такой геометрии заключалась именно в этом, то тогда он упустил из вида возможность того, что как евклидова, так и неевклидова геометрия может быть самонепротиворечивой, хотя две эти системы и не совместимы друг с другом. Таким образом, открытие неевклидовой геометрии следует приписать Лобачевскому и Больяю, которые сделали свои открытия в первой половине XIX века. Еще один вид неевклидовой геометрии был открыт Риманом.

46

Непротиворечивость допущений, требующаяся для других областей математики, может быть показана сходным способом. Однако возникают и некоторые трудности. Математика, как система суждений, развилась существенно дальше, чем достижения Евклида. Математики продемонстрировали, что все высшие области математики, такие как высшая алгебра, анализ, геометрия и т. д., могут интерпретироваться как изучающие отношения между целыми числами, а также что для них не требуется никаких фундаментальных понятий, кроме тех, что используются в арифметике. Данное достижение стало называться «арифметизацией математики» и стало возможным благодаря таким ученым, как Вейерштрасс, Дедекинд и Гильберт. В анализе математических идей был сделан еще и дополнительный шаг, когда было показано, что сама по себе арифметика не нуждается в каких-либо фундаментальных понятиях, за исключением таких понятий логики, как класс, член класса, импликация и т. д. Данная работа была осуществлена во многом благодаря таким исследователям, как Кантор, Фреге, Пеано, Уайтхед и Рассел и получила наиболее адекватное выражение в труде «Principia Mathematica», авторами которого стали двое последних из перечисленных ученых. Вследствие более чем вековой работы многие, хотя и не все, математики убеждены в том, что математика может быть развита в терминах идей чистой логики. Если данный тезис верен, то непротиворечивость всех областей математики находится в зависимости от непротиворечивости принципов формальной логики. Таким образом, вопрос о непротиворечивости любой области математики сводится к вопросу о том, формируют ли логические принципы непротиворечивую систему.

47

Цит. по: Вольтер. Задиг, или Судьба // Вольтер. Философские повести. М., 2005. – Прим. перев.

48

Данный результат согласуется с определением математической вероятности, поскольку общее число способов извлечения двух шаров из пяти (т. е. количество комбинаций из 5 шаров в группах по 2 шара в каждой) равна (5x4) / (1x2), т. е. 10. А число способов извлечения 2 белых шаров из общего числа трех белых равно (3x2) / (1x2), или 3, т. е. количество благоприятных событий.

Вероятность извлечения 2 белых шаров при этих условиях также равна 3/10

49

De Morgan A. Formal Logic. Chap. IX.

50

Быть может, следует повторить, что, согласно развиваемой здесь теории вероятности, вопрос об истинности суждения о некотором единичном событии (например, переходе Цезаря через Рубикон) или теории (например, теории Коперника) эквивалентен вопросу о том, с какой частотой суждения или теории, принадлежащие определенному классу, являются истинными, если в пользу их истинности имеется столько же оснований, сколько и в пользу истинности рассматриваемого суждения или теории? Следовательно, согласно данному подходу, теория, являющаяся крайне вероятной при одном наборе оснований, может перестать быть таковой при увеличении количества оснований. Это, однако, следует не из субъективной природы вероятности, а из ее относительного характера. Причина же того, что психологическая интерпретация вероятности считалась основной столь длительное время, лежит в ошибочном мнении о том, что всякая относительность является психологической. Пожалуй, именно первоначальное слабое признание относительного характера вероятности стало причиной последующей критики общепринятой формы теории вероятности по частоте. Причина же критики заключалась в том, что общее обсуждение вероятности того или иного события вызывает мысль о том, что вероятность является внутренне присущей характеристикой самого события.

51

Претензия на то, чтобы стать основой доказательства. Допущение в качестве основы доказательства положения, которое само еще требует доказательства (лат.). – Прим. перев.

52

Mill J. S. A System of Logic. 1875. 3 vols. Vol. I. P. 210. Первое издание было опубликовано в 1843 г.

53

Mill J. S. A System of Logic. 1875. 3 vols. Vol. I. P. 210.

54

Аристотель. Категории // Аристотель. Соч. В 4-х т. Т. 2. М., 1978. С. 87.

55