Читаем Введение в логику и научный метод полностью

Введение в логику и научный метод

Далее припишем а и Ь значение нуль. Тогда мы получим уравнение 2:

(0 – с)(0 – d) = 0 × 0 – 0 × с – 0 × d + cd;

или уравнение 3:

(-c)(-d) = (+cd).

В общем, заключением доказательства является положительное произведение двух отрицательных величин.

Является ли данное доказательство обоснованным? Читатель с легкостью увидит, что не является, поскольку уравнение 1 было развито на основе предположения, что а и Ь не равны нулю. Мы не можем получить уравнение 3 из уравнения 1, если не введем дополнительное допущение, что уравнение 1 будет истинным для всех возможных значений а и Ь. Однако это дополнение эквивалентно допущению о том, что все законы, распространяющиеся на сложение и умножение положительных чисел, также истинны и для отрицательных чисел. Но именно это суждение изначально и доказывалось.

На самом деле мы знаем, что правила оперирования отрицательных чисел независимы от правил оперирования положительных чисел. В очередной раз становится очевидной ценность разложения аргумента на составляющие его шаги. Точно так же как изучение допущений, требующихся для доказательства пятого постулата Евклида, привели Лобачевского и Больяя к открытию неевклидовых геометрий, так и исследование основополагающих правил алгебры привели сэра Уильяма Р. Гамильтона и Г. Г. Грассмана к открытию различных алгебраических систем. Без неевклидовых геометрий вряд ли было бы возможно развитие более сложной общей алгебры и современной физики. Важно отметить, что метод, требующий проявления всех требующихся для доказательства допущений, а также беспристрастные исследования всех альтернатив подобных допущений имеют далеко идущие следствия. Наилучший способ прояснить значимость логического метода для цивилизации – это задуматься о том, какую роль он сыграл в истории развития науки.

<p>Упражнения</p><p>Глава I. Предмет логики</p>

1. Что из перечисленного ниже мы знаем непосредственно, а что с опорой на основания?

a. Существует центр Земли.

b. Существует король Италии.

c. Мы обладаем легкими, с помощью которых дышим.

d. Существует бельгийская колония Конго.

e. Между Индией и Китаем существует страна, именуемая Тибетом.

2. На каких основаниях вы верите в то, что ваш дальний предок жил в 2000 году до н. э.? На каких основаниях базируется ваше верование о том, что на земле жили такие личности, как Вашингтон, Наполеон, король Артур, царь Давид, Гомер, Моисей?

3. Докажите, что 5 + 2 = 7. Сформулируйте все допущения, используемые вами при доказательстве. (См. Пуанкаре А. Основания науки.)

4. Что имеется в виду, когда утверждается, что логика является формальной дисциплиной?

5. Какие базовые допущения используются в следующем доказательстве: а2 – b2 = (а + Ь)(а – Ь)?

6. Сформулируйте суждение, необходимое для доказательства того, что:

a. Земля – круглая.

b. Она вращается вокруг оси, а также вокруг Солнца.

7. Каковы основания для утверждения о том, что, согласно действующей конституции, президент Соединенных Штатов может быть избран меньшинством голосов избирателей?

8. Являются ли обоснованными следующие аргументы:

a. Сан-Франциско находится к западу от Нью-Йорка.

Пекин находится к западу от Сан-Франциско.

Берлин находится к западу от Пекина.

∴ Берлин находится к западу от Сан-Франциско.

b. А находится справа от В.

В находится справа от С.

∴ А находится справа от С.

Является ли данный аргумент справедливым относительно людей, сидящих в кругу?

9. Являются ли приведенные ниже умозаключения обоснованными только лишь потому, что посылки и следствия в них являются истинными?

a. Рыбы живут в воде.

Обезьяны не рыбы.