Введение в логику и научный метод

Аксиома 7\'. Ни один 1-класс не содержит более трех элементов S.

В данном наборе допущений не делается явной ссылки ни на какую предметную область. Понятия, необходимые для того, чтобы сформулировать данные аксиомы, имеют совершенно общий характер. Идеи класса, подкласса, элементов класса, отношение принадлежности к классу и дополнение к классу, понятие числа – все это фундаментальные элементы аппарата логики. Таким образом, если нам удастся открыть импликации этих аксиом, то это случится не благодаря свойствам пространства как такового. На самом деле ни одна из этих аксиом не может считаться суждением, ни одна из них сама по себе не является истинной или ложной. Сами по себе символы S, 1-класс, А, В и т. д. являются переменными. Каждая из этих переменных обозначает любую сущность из класса возможных сущностей, с единственным условием: эта сущность должна «выполнять» или согласовываться с формальными отношениями, сформулированными в аксиомах. Однако до тех пор, пока символы не наделены специфическим значением, аксиомы являются пропозициональными функциями, а не суждениями [44] .

Наши допущения, таким образом, заключаются в том, что некоторые отношения рассматриваются в качестве существующих между неопределенными терминами. Однако читатель обратит внимание, что, несмотря на то что ни один термин не определен явно, им (терминам), тем не менее, дано имплицитное определение. Они могут обозначать все что угодно, при условии, что это обозначаемое согласуется с отношениями, утверждаемыми относительно них. Данная процедура характеризует современную математическую технику. К примеру, в аксиоматике Евклида явные определения даны точкам, прямым, углам и т. д. В современной трактовке геометрии эти элементы определяются имплицитно посредством аксиом. Такая процедура, как мы сможем убедиться, обусловливает возможность большого числа различных интерпретаций неопределенных терминов, что позволяет проявить тождественность структуры в различных условиях.

Теперь мы докажем шесть теорем, некоторые из которых можно посчитать банальными следствиями наших допущений.

Теорема I. Если А и В являются различными элементами S, то существует один, и только один, 1-класс, содержащий одновременно А и В. Назовем его «1-класс АВ». Это следует из аксиом 1′ и 2′

Теорема II. Любые два отличных друг от друга 1-класса имеют один, и только один, общий элемент S. Это следует из аксиом 2′ и 3′

Теорема III. Существует три элемента S, которые вместе не принадлежат одному 1-классу. Это является непосредственным следствием аксиом 4′ 5′ и 6′

Теорема IV. Каждый 1-класс в S содержит только три элемента S. Это следует из аксиом 5′ и 7′

Теорема V. Любой класс S, выполняющий условия аксиом 1′—6′ включительно, содержит по меньшей мере семь элементов.

Доказательство . Пусть А, В, С – три элемента S , не принадлежащих одному l‑классу . Э то возможно, согласно теореме III. Тогда должно иметься три различных l‑класса , содержащих АВ, ВС и СА , согласно теореме I. Более того, каждый из этих l‑классов должен обладать дополнительным элементом, согласно аксиоме 5′ и эти дополнительные элементы должны быть отличны друг от друга, а также от А, В , С, согласно аксиоме 2′

Пусть эти дополнительные элементы обозначаются как D, Е и G, так чтобы ABD, ВСЕ и CAG формировали три упомянутых различных 1-класса. Тогда АЕ и BG тоже детерминируют 1-классы, которые должны быть отличными от всех упомянутых 1-классов, согласно аксиоме Г. Также они должны обладать одним общим элементом S, согласно аксиоме 4\', который будет отличаться от всех упомянутых элементов, согласно аксиоме 2'. Назовем его «F», так чтобы AEF и BFG были 1-классами.

Следовательно, в S есть по меньшей мере семь элементов.

Теорема VI. Класс S, выполняющий условия всех семи допущений, содержит не более семи элементов.

Доказательство . Допустим, имеется восьмой элемент Т. Тогда 1-класс, детерминируемый с помощью АТ и BFG, должен будет обладать общим элементом. Этим элементом не может быть В, т. к. элементы АВ детерминируют 1-класс, элементами которого являются ABD, так что ABTD должны будут принадлежать этому же 1-классу, что невозможно, согласно аксиоме. Этим элементом не может быть и F, ибо тогда AFTE должны будут принадлежать 1-классу AEF; этим элементом не может быть и G, т. к. тогда AGTC должны будут принадлежать 1-классу AGC; все эти результаты невозможны по той же причине (аксиома 7').

Следовательно, поскольку существование восьмого элемента противоречит аксиоме 7', то такой элемент не может существовать.