Заглянем в будущее

Снег подтаивает. Вы находитесь на верху крутого склона. Слепили снежок, пустили его вниз и наблюдаете, как он катится. Снежок быстро облипает снегом и растет, как на дрожжах: чем больше его масса, тем больше на него налипает снега и тем быстрее он разрастается. В этом и есть вся премудрость экспоненты, ее закон.

Сам закон получается вот откуда. Обозначим нарастающую массу нашего снежного кома буквой игрек (у), тогда скорость ее нарастания есть производная массы по времени, то есть ^dy/_dt. Если обходиться без высшей математики, то можно эту же скорость вычислить, деля прирост массы кома Δу на время Δt, за которое он произошел: ^dy/_dt.

Экспоненциальная зависимость требует прямой пропорциональности в каждый момент времени между растущей массой кома у и скоростью налипания на ком снега

^Δy/_Δt(точнее ^dy/_dt) .

Следовательно, общее условие прямой пропорциональности запишется так:

^Δy/_Δt = Const у .

Если такая зависимость справедлива, например, для народонаселения планеты, то с увеличением его, скажем, в три раза скорость его прироста тоже должна возрасти в три раза. Это, в свою очередь, ускорит дальнейшее нарастание численности населения и, соответственно, пропорциональное нарастание скорости его прироста и т. д.

Если ничто не нарушит прогресса с такой прямой пропорциональностью, то у может достичь сколь угодно больших величин.

В примере со снежным комом естественным ограничением явится длина снежного склона.

Если склон очень длинен, например, вы пустили снежок с вершины или седловины Эльбруса, то при больших значениях у сильно возрастет сопротивление воздуха, его движение замедлится, скорость налипания ^Δy/_Δt упадет, нарастание кома замедлится, прямая пропорциональность нарушится.

Теперь естественно спросить, по какому же закону во времени должна нарастать масса нашего снежного кома у, чтобы была прямая пропорциональность между y и ^Δy/_Δt?

Оказывается, есть только одна удивительная функция, которая при всех значениях пропорциональна своей производной, удовлетворяющая нашему уравнению. Вот она:

y = y₀Е^ατ ,

где у₀ — начальная масса нашего кома (снежка) в момент t = 0, а α — постоянный коэффициент, зависящий в нашем примере от крутизны склона и состояния снега.

Графическое изображение этой зависимости и получило название экспоненты.

Для нее характерно: при малых значениях величины у она нарастает очень медленно и ползет вверх, как черепаха, но по мере увеличения у кривая все круче забирает вверх и при больших у, как ракета, уходит ввысь.

Нарастание какой-либо величины по такому закону и получило название экспоненциального.

Кривая эта, спокойно занимая свое скромное место в гигантском арсенале математических функций, и не подозревала, что ей уготована великая честь — определять развитие основных показателей земной цивилизации (в том числе и самой математики).

Теперь эта роль вскрыта и ее загадочное «имя» — экспонента — стало очень популярно и замелькало в книгах, журналах, докладах.

Рядом с двумя гигантами, на которых стоял ньютоновский классический мир, — Массой и Энергией — в последние десятилетия был обнаружен третий, не менее могучий, — Информация. Кибернетика и теория информации открыли глаза людям на этого гиганта. Нет живого организма, в котором не бежали бы по внутренним каналам биты информации, нельзя построить умную машину, в которой не сновали бы те же биты, несущие команды управления и информацию о ее состоянии, нельзя представить себе сообщества разумных (людское, некоторые относят сюда и дельфинье) и неразумных (муравьи, пчелы и др.) существ без своих систем связи. Можно даже всю нашу земную цивилизацию рассматривать как единую кибернетическую систему, как систему регулирования с огромным числом элементов (например, каждый человек — один элемент) и сложной обратной связью.

Отсюда и вытекает определение цивилизации как системы, стремящейся получить максимум информации об окружающей среде и о себе самой, абстрактно анализирующей эту информацию и использующей ее для выработки реакций, сохраняющих и укрепляющих саму систему.

Такие явления, как войны, эпидемии и т. п., можно считать временными внутренними помехами в системе, которые, несомненно, будут в конце концов навсегда устранены в процессе ее регулирования по цепи обратной связи.

Можно спорить с этим определением, но нельзя отрицать факт — в основе развития человечества лежит непрерывный процесс получения, накопления, передачи и использования информации.