Занимательная теория вероятности

Упрощение, которое мы введем, состоит в следующем: будем считать, что каждый столбик отличается от соседнего на единицу отклонений. Положим для конкретности, что доска состоит из 10 рядов препятствий. Будем считать, что шарик обязательно встречается с одним из препятствий каждого ряда и с равной вероятностью отскакивает вправо или влево, при этом отклонения происходят всегда на один интервал.

Тогда шарик, который попал в среднюю пробирку, отклонился 5 раз влево, 5 раз вправо. Следующая ячейка заполнена шариками, путь которых состоял из шести отклонений в одну сторону и четырех в другую. Далее идут пробирки, заполняющиеся шариками в соответствии с вариантами 7–3, 8–2, 9–1 и 10–0.

Вариант 5–5 осуществляется максимальным числом способов, 6–4 — уже несколько меньшим, 7–3 — еще меньшим…10–0 — самая редкая комбинация. Отсюда и характерный вид кривой, проходящей через вершины столбиков.

Высоты столбиков пропорциональны числу комбинаций, с помощью которых осуществляется тот или иной вариант. Об этом мы уже говорили (обратитесь, пожалуйста, к с. 16), рассматривая все возможные варианты серии из 5 игр в рулетку.

Надо было бы для ясности выписать все комбинации для серии из 10 опытов. Пожалуй, мы пойдем на большее. На следующей странице изображен так называемый треугольник Паскаля, с помощью которого можно определять числа комбинаций для любых рядов испытаний. Для того чтобы продолжить этот треугольник хоть до бесконечности, нужно лишь время и умение складывать. Даже таблицу умножения знать не обязательно, поскольку каждое число треугольника равно сумме двух чисел, а именно соседних левого и правого верхней строки.

В результате этих наипростейших арифметических операций мы получаем числа комбинаций левого и правого, красного и черного и вообще любых статистических «да» и «нет».

Как же пользоваться треугольником? Любая из его строк дает числа комбинаций для определенного числа элементов. На рисунке выделена пятая строка. Она отвечает на все вопросы, касающиеся рядов из пяти испытаний. Числам 1, 5, 10, 10, 5, 1 (мы помним их) пропорциональны вероятности появления красного цвета в пяти последовательных поворотах колеса рулетки 0 раз, 1 раз, 2 раза, 3 раза, 4 раза и 5 раз. Значение вероятностей мы получим, поделив каждое число треугольника Паскаля на общее число испытаний, которое равно сумме чисел строки.

Возвращаясь к доске Гальтона, мы можем сказать, что при десяти случайных встречах с препятствиями число шариков, которые попадут в крайние пробирки (все встречи привели к одним лишь левым или к одним лишь правым отклонениям), будет в среднем в 252 раза меньше числа шариков, попавших в средний приемник.

С гауссовой кривой приходится сталкиваться во всех областях знания. Универсальность ее объясняется очень просто: на нее укладываются вероятности отклонений от среднего во всех случаях, если только отклонения «вправо» и «влево» равновероятны. Если же отклонения от среднего невелики, как это бывает очень часто, то подобное требование осуществляется всегда. Сейчас мы продолжим знакомство с этой замечательной кривой, лежащей в основе любой статистики.

Случайные отклонения

Вкусы у людей, как известно, чрезвычайно разные. Одни сникают при взгляде на длинные колонки цифр, на графики с ниспадающими и вздымающимися вверх ломаными и плавными кривыми, на масштабные столбики, высота которых описывает все, что угодно, — урожаи, рост, потребление водки или посещаемость театров. У других же, и их немало, глаза загораются при взгляде на это богатство информации. Жадно рыщут они взглядом вдоль цифровых столбцов, просматривают графики и приходят к интересным и важным выводам в области экономики страны, понимания человеческого характера или еще в чем-нибудь. Люди эти — статистики, нужное и важное племя работников, значительный отряд министерств и ведомств.

Задачи статистики (так называются не только люди, но и область деятельности) разнообразны и обширны. На десятках тысяч библиографических карточек приведены данные о промышленном производстве, о народном образовании, о смертности населения, о функционировании поликлиник и больниц, об автомобильных катастрофах, о посещаемости кинофильмов и бог весть еще о чем. Статистиков интересуют самые разные вещи: динамика роста тех или иных показателей, сопоставление данных по значению какого-либо параметра в разные времена года, или в разные часы дня, или среди мужчин и женщин, или среди лиц разного возраста.

Особое место занимают в статистике измерения средних значений и отклонений от средних. Весьма распространены измерения роста и веса. Вес цыплят, которыми торгует птицеферма, интересен потому, что характеризует ее работу; рост людей интересен для швейной промышленности, выпускающей одежду от 46-го до 56-го размеров, и так далее. Так как все это известно читателю из газет и радиопередач, приводящих всевозможные числа, то перейдем к нашей теме, а именно к проявлению во всей этой массе чисел законов случая.