Здесь или нигде

Квадрат Дюрера относится к совершенным квадратам четвертого порядка. Его определение звучит так: «Магический квадрат порядка n=4k называется совершенным, если он пандиагональный (сумма цифр должна быть одинаковой в каждом ряду по вертикали, горизонтали и диагонали) и обладает рядом дополнительных свойств. Из этих свойств (в количестве 10) меня заинтересовали два. Это свойство № 1: «Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата четвертого порядка, равна магической константе квадрата». И свойство № 4: «Если в совершенный квадрат четвертого порядка вписать квадрат 2х2 с вершинами в серединах сторон совершенного квадрата, то сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата». Из этих двух свойств вытекали интересные геометрические построения. Первое – квадрат, вписанный в квадрат и стоящий на вершине простраивался не только в нижних квадратах, но в самом магическом квадрате, а второе – в квадрат, стоящий на вершине, вписывался еще один квадрат. Сделав эти построения в магическом квадрате, я попробовала их снести на остальные.

Отчет о моих построениях описан в дневнике 3 февраля: «Результат – сносятся. Они также подкрепляются диагоналями, идущими через всю работу и образующими вершины разверток усеченного куба. Но самое интересное, что в квадрате «мыши» квадрат, подобный квадрату «34», обрамляет буквы «ENCO», а диагональный квадрат почти симметрично пересекает буквы «L».

P.S. размер нижнего обвода колокола по ширине совпадает с размером внутреннего квадрата 2х2 – «34», так же как и размер его коромысла совпадает с размером самого магического квадрата!»

Но сам способ построения основного магического квадрата я смогла найти только в энциклопедии Брокгауза и Ефрона в статье «Волшебные квадраты». Способ оказался достаточно простым и состоял из двух этапов. Первый шаг – из верхнего левого угла квадрата пишутся по порядку цифры от 1 до 16 в клетки, лежащие на диагоналях. Второй шаг – из нижнего правого угла также в порядке от 1 до 16 в оставшиеся пустыми клетки записываются соответствующие цифры. И магический квадрат готов! Все дальнейшие варианты магического квадрата, в том числе и квадрат, изображенный Дюрером, получаются методом перестановки строк как горизонтальных, так и вертикальных.

Но у «магического квадрата» Дюрера есть еще одна интересная особенность, которая стала очевидной после проведения по клеткам квадрата линий геометрических построений: цифры, вписанные в клетки квадрата, имеют такую форму своего начертания, которая повторяет сквозные линии геометрических построений. И мои дальнейшие исследования магического квадрата показали, что это была не единственная его тайна.

Через несколько дней в своем дневнике я сделала новую запись – о находке еще одного слоя построений.

17 февраля. «Обратила внимание, что основное содержание и завязка находится в нижней части гравюры. И как всегда – вдруг – в глаза бросилось, что лестница и весы вверху симметричны по расстоянию от центральной оси. Проверила, так и есть, две точки совпали. Провела через них линии, посмотреть, куда это приведет. Линия со стороны лестницы внизу прошла точно через шляпку гвоздя на молотке, а вверху через гусек карниза, в точке, лежащей на линии симметрии. С правой стороны – через нижний край пояса Ангела и ту же точку на карнизе. Далее мое внимание привлекли гвозди в ряд на ручке молотка (молоток всегда вызывал у меня подозрение, больно он правильно лежит)».

Линия, проведенная по ручке молотка, прошла по ровной части подола платья и через точку «усечения» развертки куба. Симметрично ей простроилась и вторая линия, прошедшая через другую точку усечения. Когда я провела и соединила все линии, у меня получились два треугольника, или ромб, по форме почти аналогичный ромбу в «Автопортрете. 1500». И если в «Автопортрете» горизонтальная линия проходит по верху белой сорочки в вырезе кафтана, то в гравюре по нижней вершине многогранника и по точке циркуля в руке. Верхушка ромба оказалась зафиксирована линией, проходящей по основанию коромысла колокола, верху песочных часов и по гвоздю, на котором висят весы. Проведя эту горизонталь, я нашла ответ на вопрос: почему все эти предметы сидели на одной линии.

Дойдя в своих поисках до этого места, я подумала, что пришло время систематизировать мои открытия – пошагово описать построения с приложением соответствующих графических листов. И с этих листов я решила дополнительно снять кальки, чтобы четко видеть полученный результат. Все это, кроме фиксации уже найденного материала, поможет увидеть, на что еще не было обращено внимание.