Земля и космос. От реальности к гипотезе

Это означает, что когда падающее тело получает ускорение вниз, то Земля получает ускорение вверх. Однако Земля является более массивной, чем падающее тело, и ускоряется в значительно меньшей степени. (Я слышу ваши возражения: «Но вы только что сказали, что все тела любой массы ускоряются одинаково». Да, но в ответ на гравитационное воздействие Земли. Все тела любой массы также ускоряются одинаково по отношению к падающему телу — но только по отношению к нему. Одно «одинаково» не совпадает с другим «одинаково».)

Земля настолько массивней падающих тел, которые мы обычно используем, что ускорение Земли по отношению к ним заметить совершенно невозможно. Это несколько запутывает дело, и хорошо, что Ньютон просто отбросил это усложнение: это позволило ему понять, что притяжение — не только свойство Земли, но и свойство всех объектов во Вселенной.

По третьему закону, если Земля притягивает к себе падающие тела, падающие тела должны совершенно так же притягивать Землю. Если сила притяжения зависит от массы падающего тела, это должно также зависеть от массы Земли, поскольку мы не можем дать одной стороне преимущественного положения перед другой. Если мы обозначим массу Земли буквой M, то получается следующее:

F ~  mM(уравнение 9).

Гравитационная сила также зависит от расстояния между телами. Разумно предположить, что чем дальше два тела друг от друга, тем слабее их притяжение друг к другу. Можно доказать, что гравитационная сила пропорциональна расстоянию между падающим телом и Землей. Из принципа симметрии, однако, должно следовать, что гравитационная сила точно так же должна быть пропорциональна между Землей и падающим телом. Ясно, что оба эти расстояния совершенно равны, и если одно из них обозначить через d, то так же можно обозначить и второе расстояние. В этом случае гравитационная сила везде пропорциональна d x  d, или d ², и обратно пропорциональна 1/ d ². Таким образом:

F ~ 1/ d²(уравнение 10).

И если мы объединим уравнения 9 и 10, то получим:

F ~  mM/ d ²(уравнение 11).

Чтобы превратить эту формулу в равенство, мы должны умножить правую сторону уравнения на коэффициент пропорциональности. В этом случае давайте назовем его гравитационной постоянной и обозначим буквой G. Уравнение 11 тогда приобретет следующий вид:

F =  GmM/ d ²(уравнение 12).

Это уравнение представляет собой ньютоновский закон гравитации в самом простом виде.

Теперь давайте посмотрим, сможем ли мы упростить это равенство. Рассмотрим гравитационную силу в терминах ускорения. Ускорение Земли столь мало, что мы можем не принимать его во внимание, а иметь дело лишь с ускорением падающего тела. В уравнении 6 мы можем заменить Fвыражением maи затем сократить mс обеих сторон уравнения. Это даст нам следующее:

а ~  GM/ d ²(уравнение 13).

Можем мы также избавиться и от G?

G ~  ad ²/ M(уравнение 14).

К сожалению, это тоже нам никак не помогает. Мы можем измерить ускорение падающего тела ( а) и расстояние между падающим телом и центром Земли ( d), но у нас нет совершенно никакой информации о массе Земли ( M). Или, по крайней мере, ее не было у Ньютона.

Однако, чему бы Gни равнялось, его значение остается тем же для всех возможных значений a, dи Mпри условии, что вы выражаете а, dи Mпри помощи одного и того же набора единиц. В этом случае давайте очень тщательно выберем набор единиц, который бы позволил нам избавиться от G.

Давайте использовать массу Земли как единицу массы, радиус Земли как единицу расстояния, а единицу гравитационного ускорения как единицу ускорения. Земля будет составлять ровно 1 массы Земли, расстояние падающего тела от центра будет равно точно 1 радиуса Земли, а ускорение падающего тела будет равно точно 1 единице гравитационного ускорения. В этом случае:

G = 1 x 1 ²/1 = 1 (уравнение 15).

Пока мы будем придерживаться этих единиц, мы можем убрать Gи написать уравнение 13 следующим образом:

а =  M/ d ²(уравнение 16).

Если мы будем применять это уравнение только по отношению к Земле, то оно станет совершенно бесполезным. Единственное, что из него следует, — тело с размерами и массой Земли падает так, как мы видим его падающим. Не более того!

Но что будет, если мы переместимся к поверхности Луны? Масса Луны в 0,0124 раза меньше массы Земли, то есть составляет 0,0124 земной массы. Расстояние от падающего на Луну объекта от центра Луны равно радиусу Луны, который составляет 0,27 земного радиуса. Таким образом, мы находим из уравнения 16 (при том, что теперь  Mпредставляет массу Луны и d— расстояние до центра Луны):

а = 0,0124/0,27 ² = 0,17 (уравнение 17).

Мы видим, что падающее тело на поверхности Луны движется вниз с ускорением в 0,17 (грубо говоря, ¹/ ₆) единицы ускорения. Для простоты примем, что на Луне тело ускоряется в 1,6 раза быстрее, чем на Земле, а это значит, что притяжение на Луне только в 1,6 раза меньше, чем на Земле.