Зеркало загадок

В библиотеке я нашел несколько версий этого прославленного парадокса. Первая изложена в сугубо испанском Испаноамериканском словаре, в двадцать третьем томе, и сводится она к осторожному сообщению: «Движения не существует: Ахилл не сумеет догнать ленивую черепаху». Подобная сдержанность меня не удовлетворяет, и я ищу менее беспомощную формулировку у Дж. Г. Льюиса, чья «Biographical History of Philosophy»[77] была первой книгой по философии, которую я стал читать то ли из тщеславия, то ли из любопытства. Попробую изложить его формулировку. Ахилл, символ быстроты, должен догнать черепаху, символ медлительности. Ахилл бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и дает ей десять метров форы. Ахилл пробегает эти десять метров, черепаха пробегает один метр, Ахилл пробегает этот метр, черепаха пробегает дециметр, Ахилл пробегает дециметр, черепаха пробегает сантиметр, Ахилл пробегает сантиметр, черепаха – миллиметр, Ахилл пробегает миллиметр, черепаха – одну десятую долю миллиметра, и так до бесконечности – то есть Ахилл может бежать вечно, но не догонит черепаху. Таков бессмертный парадокс.

Перейду к известным опровержениям. Самые старые – Аристотеля и Гоббса – включены в опровержение, сформулированное Стюартом Миллем. По его мнению, эта проблема – всего лишь один из многих примеров заблуждения из-за ложной аргументации. Стюарт Милль уверен, что может его опровергнуть следующим анализом:

В заключении софизма слово «вечно» означает любой мыслимый промежуток времени; в предпосылке предполагается любое число временны´х отрезков. Это означает, что мы можем делить десяток единиц на десять, частное – опять на десять, сколько раз нам вздумается, и делениям пройденного пути, а следовательно, и делениям времени состязания конца нет. Однако бесконечное количество делений может осуществляться с чем-то конечным. В содержании парадокса не дана иная бесконечность длительности, чем та, что содержится в пяти минутах. Пока эти пять минут не прошли, частное можно делить на десять и еще раз на десять сколько нам вздумается, что вполне осуществимо с тем фактом, что общая длительность составляет пять минут. В результате доказывается, что для того, чтобы преодолеть это конечное пространство, требуется время, бесконечно разделяемое, но не бесконечное. (Милль, «Система логики», книга пятая, глава седьмая.)

Я не могу предвидеть мнение читателя, но чувствую, что предложенное опровержение Стюарта Милля есть не что иное, как изложение парадокса. Достаточно установить скорость Ахилла в одну секунду на метр, чтобы найти требуемое время.

Предел суммы этой бесконечной геометрической прогрессии будет двенадцать (точнее, одиннадцать и одна пятая; еще точнее, одиннадцать с тремя двадцатипятыми), но он никогда не достигается. То есть путь героя будет бесконечен, и он будет бежать вечно, но его маршрут закончится, не достигнув двенадцати метров, и его вечность не достигнет двенадцати секунд. Это методичное разложение, это конечное падение в бездны все более мелкие на самом деле не уничтожают проблему, а просто хорошо ее представляют. Не будем также забывать, что и бегуны уменьшаются – не только вследствие визуального уменьшения перспективы, но вследствие волшебного уменьшения, к которому их вынуждает то, что они занимают все более микроскопическое пространство. Представим себе также, что эта лестница бездны разрушает пространство при все более ускоряющемся беге времени, – этакий отчаянный двойной бег наперегонки неподвижности и экстатической быстроты.

Другой попыткой опровержения была сделанная в тысяча девятьсот десятом году Анри Бергсоном в его известном «Опыте о непосредственных данных сознания» – само название книги является предвосхищением основания. Вот страница из нее: