Жемчужина Эйлера

И если бы мы построили другое разбиение тора, то обнаружили бы, что эта знакопеременная сумма по-прежнему равна нулю. Поэтому для тора мы получаем новую формулу Эйлера:

V — E + F = 0.

Можно доказать, что у любой топологической поверхности есть «своя» формула Эйлера. Не важно, на сколько граней разбить поверхность сферы — на 6 или на 1600, все равно формула Эйлера всегда будет давать 2. И точно так же, если применить формулу Эйлера к любому разбиению тора, получится 0. Это число может служить характеристикой поверхности, подобно тому, как количество колес характеризует транспортные средства. У любой легковой машины четыре колеса, у тягача с прицепом восемнадцать, а у мотоцикла два колеса. Если у транспортного средства не четыре колеса, то это не легковая машина, а если у него не два колеса, то это не мотоцикл. Аналогично, если V — E + F не равно 0, то поверхность топологически не эквивалентна тору.

Величина V — E + F внутренне связана с формой поверхности. Топологи говорят, что она является инвариантом поверхности. Из-за этого свойства инвариантности величина V — E + F называется эйлеровой характеристикой поверхности. Эйлерова характеристика сферы равна 2, а тора — 0.

В данный момент тот факт, что у каждой поверхности своя эйлерова характеристика, может показаться не более чем математическим курьезом, над которым забавно поразмышлять, держа в руках футбольный мяч или глядя на геодезический купол — мол, «круто же». Но, конечно же, это далеко не так. Как мы увидим, эйлерова характеристика — незаменимый инструмент при изучении многогранников, не говоря уже о топологии, геометрии, теории графов и динамических системах, и у нее есть весьма элегантные и неожиданные применения.

Математический узел, показанный на рис. I.5, похож на спутанную веревочную петлю. Два узла считаются эквивалентными, если один можно деформировать в другой, не разрезая и не склеивая заново веревку. При некоторой изобретательности мы можем использовать эйлерову характеристику также для различения узлов и доказать, что два узла на рис. I.5 не эквивалентны.

Рис. I.5. Это один и тот же узел?

На рис. I.6 показана карта направления ветров на поверхности Земли. Рядом с побережьем Чили мы видим точку, где ветра нет. Она расположена в центре тайфуна, вращающегося по часовой стрелке. Можно доказать, что на поверхности Земли всегда существует по крайней мере одна точка, в которой нет ветра. И это вытекает не из знания метеорологии, а из чисто топологических соображений. Существование такой точки затишья следует из факта, который математики называют теоремой о причесывании ежа[1]. Неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося клубком ежа, так чтобы у него не торчала ни одна иголка. В главе 19 мы увидим, как эйлерова характеристика позволяет доказать это смелое утверждение.

Рис. I.6. Всегда ли на поверхности Земли существует точка, в которой не дует ветер?

На рис. I.7 изображен многоугольник, все вершины которого находятся в узлах равномерной сетки, отстоящих друг от друга на единичное расстояние. Удивительно, но мы можем точно вычислить площадь этого многоугольника, просто подсчитав количество точек. В главе 13 мы увидим, что формула Эйлера позволяет вывести элегантную формулу, выражающую площадь многоугольника через количество точек на его границе (B) и количество точек внутри (I):

Площадь = I + B/2 — 1.

Рис. I.7. Можно ли определить площадь закрашенного многоугольника путем подсчета точек?

Согласно этой формуле, площадь показанного многоугольника равна 5 + 10/2 — 1 = 9.

Существует старая и интересная задача о том, сколько цветов необходимо для раскрашивания карты таким образом, что любые два области, имеющие общую границу, раскрашены в разные цвета. Возьмите чистую карту США и попробуйте раскрасить ее, используя как можно меньше цветных карандашей. Очень скоро вы обнаружите, что для большей части карты достаточно всего трех карандашей, но, чтобы завершить краску, понадобится четвертый цвет. Например, штат Невада окружен нечетным числом штатов, поэтому для их раскраски нужно три карандаша, но тогда для самой Невады потребуется четвертый карандаш (рис. I.8). При умном подходе можно обойтись без пятого карандаша — четырех цветов достаточно для раскраски всей карты США. Уже давно предполагалось, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета или меньше. Эта знаменитая гипотеза, которая никак не поддавалась усилиям математиков, получила название проблемы четырех красок. В главе 14 мы подробно расскажем эту увлекательную историю; в 1976 году она закончилась вызвавшим много споров доказательством, в котором эйлерова характеристика сыграла ключевую роль.