Живой кристалл

Мы сделали грубое предположение, сочтя, что на протяжении всего периода колебаний атом движется с максимальной скоростью. Как выясняется, оно привело нас к потере численного множителя 2π. Точная формула выглядит так:

  

Мы получили результат, противоречащий интуиции: кажется странным, что период колебаний атома в решетке практически не зависит от температуры, разве что лишь в меру очень слабой температурной зависимости модуля упругости. Здесь следует подчеркнуть: не при всех температурах, а лишь при высоких температурах, когда вообще справедливо все то, что рассказано в очерке. Так как масса атома  

m ≈ 10^-22 грамм, то τ₀ = 10^-13 - 10^-12 с 

Итак, мы оценили две фундаментальные характеристики движения атома в кристалле: амплитуду и период колебаний. Их значения свидетельствуют об очень активной жизнедеятельности атома: он за секунду, не меняя положения оседлости, совершает п = 1/τ₀ = 10¹² — 10¹³ колебаний, проходя при этом путь протяженностью L = па = (10¹² — 10¹³)• 10^-9 см = 10³ — 10⁴ см!

История закона Дюлонга и Пти — отличная иллюстрация к одной из общих закономерностей развития науки: в ее ткань входят не только завершенные «глыбы» правды, но и те «крупицы» знаний, которые оказываются лишь долей правды.

ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА И ДЕБАЯ

Открытие Дюлонга и Пти оказалось первым этапом почти вековой истории выяснения природы теплоемкости кристалла. Два последующих этапа связаны с именами великих физиков XX века — Альберта Эйнштейна и Петера Дебая. Их достижения относятся к теории. Экспериментальным же изучением теплоемкости в XX веке занимались в великом множестве лабораторий.

Модель маятников, зарекомендовавшую себя при объяснении закона Дюлонга и Пти, Эйнштейн не отверг, предположение об их независимости сохранил, число маятников оставил тем же: 3N. В модель он внес, однако, принципиально важное уточнение: маятники не «классические», а «квантовые». Это значит вот что: в отличие от «классических», они могут менять свою энергию лишь определенными порциями, «квантами». Классическая закономерность «чем — тем», передающая непрерывность связи между величинами, в данном случае несостоятельна.

Кстати, о закономерности «чем — тем», которую мы назвали «классической». Речь идет о том, что различные величины, характеризующие свойства вещества и зависящие одна от другой, в классической, в смысле «не квантовой», физике связаны так, что любое сколь угодно малое изменение одной из величин влечет за собой малое изменение другой величины. Нет скачков, нет ступенек, а есть непрерывное изменение: «чем — тем».

Энергия квантового маятника (в нашем случае это атом, колеблющийся в узле кристаллической решетки) квантуется на порции, величина которых равна ∆W = hν, где h = 6,62• 10^-27 эрг•с — так называемая постоянная Планка, а ν — частота, с которой маятник колеблется. Так как атомный маятник колеблется с огромной частотой ν ≈ 10¹³ с^-1, то ∆W ≈ 6•10^-14 эрг. Величина ∆W оказывается очень малой, она, однако, при комнатной температуре (Т= 300 К) близка к kТ — полной энергии колеблющегося атома (kТ ≈ 4• 10^-14 эрг), и поэтому квантовость поглощения энергии атомом не может не сказаться и на его «личных» характеристиках, и на характеристиках твердого тела, состоящего из совокупности атомов — квантовых маятников.

Последовательность значений энергии, которую может иметь атом, колеблющийся в узле кристаллической решетки, согласно Эйнштейну, образует «энергетическую лесенку». Ее ступеньки отстоят друг от друга на расстоянии ∆W. Энергия обычного маятника (грузик на нитке!), разумеется, тоже обязана квантоваться. Однако, так как частота колебаний грузика на пружине исчезающе мала по сравнению с частотой квантового маятника, величина ∆W в первом случае оказывается очень малой. Вот конкретный пример: маятник с длиной нити l = 100 см и массой груза т = 10 г колеблется с амплитудой А ≈ 10 см. Его энергия оказывается W ≈ 5•10⁴ эрг, а частота ν ≈ 5 • 10^-1 с^-1. Такой частоте соответствует энергия поглощаемого и испускаемого кванта

hν = 3•10^-27 эрг. По сравнению с полной энергией маятника эта величина практически равна нулю, и, следовательно, можно считать, что классическая закономерность «чем — тем» между энергией и частотой практически не искажается.