Живой учебник геометрии

квадр. сантиметр………………………… кв. см или см2

квадр. миллиметр……………………….. кв. мм или мм2

гектар…………………………………….. га

Повторительные вопросы

Как вычисляется площадь прямоугольника? Квадрата? – Сколько кв. см в кв. м? Сколько кв. мм в кв. м? – Что такое гектар? – Сколько гектаров в кв. км? Как сокращенно обозначают квадратные меры?

Применения

20. Требуется окрасить иол комнаты, изображенный на черт. 6. Размеры, обозначены в метрах. Сколько понадобится для этого материалов и рабочей силы, если известно, что для окраски одного кв. метра деревянных полов с замазкой щелей и сучьев по прежде окрашенному, за два, требуется (по Урочному Положению):

Маляров…………………………………….. 0,044

Олифы, килограммов…………………….… 0,18

Охры светлой, кг…………………………… 0;099

Замазки, кг…………………………………0,00225

Пемзы, кг………………………………….. 0,0009.

Р е ш е н и е. Площадь пола равна 8 ? 12 = 96 кв. м.

Расход материалов и рабочей силы таков

Маляров. . . . . . . . 0,044 ? 96 = 4,2[3]

Олифы. . . . . . . . 0,18 ? 96= 17 кг

Охры. . . . . . . . . 0,099 ? 96 – 9,9 кг

Замазки. . . . . . . . 0.00225 ? 96 = 0,22 кг

Пемзы. . . . . . . . . 0,0009 ? 96 = 0,09 кг.

21. Составьте ведомость расхода рабочей силы и материалов для оклейки обоями комнаты предыдущ. задачи. На оклейку стен простыми обоями с бордюрами требуется (по Уроч. Положению) на кв. метр:

Маляров или обойщиков………………………… 0,044

Обоев (шир. 44 см) кусков……………………… 0,264

Бордюр (по расчету)

Крахмала граммов………………………………. 90.

Р е ш е н и е – по образцу, указанному в предыдущей задаче. Заметим лишь, что при подсчете необходимого количества обоев на практике отверстия стен из их площади не вычитают (так как при пригонке фигур в смежных полотнищах часть обоев теряется).

§ 26. Площадь треугольника

Рассмотрим сначала, как вычисляется площадь п р ям о у г о л ь н о г о треугольника. Пусть требуется определить площадь треугольника ABC(черт. 89), в котором угол В – прямой. Проведем через вершины А и С прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим (черт. 90) прямоугольник ABCD(почему эта фигура – прямоугольник?), который делится диагональю АС на два равные треугольника (почему?). Площадь этого прямоугольника равна ah; площадь же нашего треугольника составляет половину площади прямоугольника, т. е. равна 1/2 ah. Итак, площадь всякого прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, заключающих прямой угол.

Пусть теперь требуется определить площадь треугольника косоугольного (т. е. не прямоугольного), – напр. ABC(черт. 91). Проводим через одну из его вершин перпендикуляр к противоположной стороне; такой перпендикуляр называется в ы с о т о ю этого треугольника, а сторона, к которой он проведен – о с н о в а н и е м треугольника. Обозначим высоту через h, а отрезки, на которые она делит основание, через pи q. Площадь прямоугольного треугольника ABD, как мы уже знаем, равна 1/2 ph; площадь ВDC = 1/2 qh. Площадь S треугольника ABC равна сумме этих площадей:[4]S = 1/2 ph+ 1/2 qh= 1/2 h(р + q). Но р + q = а; следовательно S= 1/2 ah.

Рассуждение это нельзя прямо применить к треугольнику с тупым углом (черт. 92), потому что перпендикуляр CD встречает не основание АВ, а его продолжение. В этом случае приходится рассуждать иначе. Обозначим отрезок AD через p, BD– через, q, так что основание а треугольника равна p– q. Площадь нашего треугольника АВС равна р а з н о с т и площадей двух треугольников ADC– BDC= 1/2 ph– 1/2 qh= 1/2 h(p– q) = 1/2 ah.

Итак, во всех случаях площадь треугольника равна половине произведения любого его основания на соответствующую высоту.

Отсюда следует, что треугольники с равными основаниями и высотами имеют одинаковые площади, или, как говорят,

р а в н о в е л и к и.

Равновеликими вообще называются фигуры, имеющие равные площади, хотя бы сами фигуры не были равны (т. е. не совпадали при наложении).

Повторительные вопросы

Что называется высотою треугольника? Основанием треугольника? – Сколько высот можно провести в одном треугольнике? – Начертите треугольник с тупым углом и проведите в нем все высоты. – Как вычисляется площадь треугольника? Как выразить это правило формулой? – Какие фигуры называются равновеликими?

Применения

22. Огород имеет форму треугольника с основанием 13,4 м и высокою 37,2 м… Сколько (по весу) требуется семян, чтобы засадить его капустой, если на кв. м идет 0,5 грамма семян?

Р е ш е н и е. Площадь огорода равна 13,4 ? 37,2 = 498 кв. м.

Семян потребуется 250 г.

23. Параллелограмм разбивается диагоналями на 4 треугольные части. Какая из них имеет наибольшую площадь?

Р е ш е н и е. Все 4 треугольника равновелики, так как имеют равные основания и высоты.

§ 27. Площадь параллелограмма