Жизнь Греции. История цивилизации

До нас дошли десять работ Архимеда, переживших немало приключений в Европе и арабском мире. (1) «Метод» разъясняет Эратосфену, с которым Архимед завязал дружбу в Александрии, каким образом механические эксперименты могут расширить геометрическое знание. Этот очерк покончил с циркульно-линеечным царствованием Платона и проложил дорогу экспериментальным методам; даже при этом очевидно различие в подходах античной и современной науки: первая терпела практику ради теоретического понимания, вторая терпит теорию ради возможных практических результатов. (2) «Собрание лемм» обсуждает пятнадцать «предпосылок», или альтернативных гипотез, в планиметрии. (3) «Измерение круга» доказывает, что значение р, или отношения длины окружности к ее диаметру, лежит в промежутке между 3 1/7 и 3 10/71, а также вычисляет площадь круга, с помощью метода исчерпания показывая, что она равняется площади прямоугольного треугольника, перпендикуляр к которому равен радиусу, а основание — длине окружности. (4) «Квадратура параболы» путем интегрального исчисления исследует площадь фигуры, которую хорда отсекает от параболы, и проблему нахождения площади эллипса. (5) «О спиралях». Здесь дается определение спирали как фигуры, образуемой точкой, равномерно двигающейся из заданной точки вокруг прямой, которая равномерно вращающейся на плоскости вокруг той же заданной точки; посредством приблизительного дифференциального исчисления определяется площадь фигуры, образованной спиралевидной кривой и двумя радиальными векторами. (6) «О сфере и цилиндре» ищет формулу установления объема и площади поверхности пирамиды, конуса, цилиндра и сферы. (7) «О коноидах и сфероидах» изучает трехмерные тела, образованные вращением конических сечений вокруг их оси. (8) «Исчисление песка» переходит от геометрии к арифметике, почти к логарифмике, предположив, что большие числа могут выражаться в виде кратных чисел или «порядков» 10 000; с помощью этого метода Архимед выражает число песчинок, необходимых, чтобы заполнить всю вселенную, исходя при этом, добродушно добавляет он, из допущения, что вселенная имеет обозримую величину. Он заключает (его вывод каждый может проверить самостоятельно), что мир вмещает не более шестидесяти трех «десятимиллионных единиц чисел восьмого порядка», или, как сказали бы мы, — 10⁶³ песчинок. Ссылки на утерянные работы Архимеда показывают, что он также открыл способ нахождения квадратного корня неквадратных чисел. (9) «О равновесиях на плоскости» применяет геометрию к механике, исследует центр тяжести различных сочетаний тел и дает древнейшую из сохранившихся формулу научной статики. (10) «О плавающих телах» закладывает основания гидростатики, определяя математические формулы равновесного положения плавающего тела. Это сочинение открывается поразительным для того времени тезисом, согласно которому поверхность любого жидкого тела в состоянии покоя и равновесия — сферична, и центр этой сферы совпадает с центром Земли.

Возможно, к изучению гидростатики Архимеда подтолкнул почти столь же знаменитый случай, как и яблоко Ньютона. Царь Гиерон выдал некоему сиракузскому Челлини золото для изготовления венца. Когда венец был готов, он весил столько же, сколько и отпущенное золото, но возникло подозрение, что художник восполнил часть веса с помощью серебра, прикарманив разницу. Гиерон поделился с Архимедом своими сомнениями и дал ему венец, по всей видимости, настояв, чтобы первые были разрешены без ущерба для второго. Неделями Архимед ломал голову над этой задачей. Однажды, находясь в публичных банях, он опустился в ванну и заметил, что вода переливается через край по мере его погружения и что вес или давление тела кажется тем меньшим, чем большая часть его оказывается под водой. Его любознательный ум, искавший объяснение и применение любому опыту, тут же сформулировал «принцип Архимеда»: плавающее тело теряет в весе столько же, сколько весит вытесняемая им вода. Догадываясь, что погруженное в воду тело вытеснит количество воды, соответствующее его объему, и понимая, что этот принцип делает возможным проверку венца, нагой Архимед (если мы вправе верить степенному Витрувию) стрелой выскочил на улицу и помчался домой с криками: «Неureka! Неureka!» — «Нашел! Нашел!» Дома он вскоре обнаружил, что, поскольку серебро имеет больший объем на единицу веса, чем золото, заданная масса серебра вытесняет больше воды, чем такая же масса золота. Он заметил также, что погруженный в воду венец вытесняет больше воды, чем если бы он был из чистого золота. Ученый заключил, что в венце имеется примесь некоего металла с меньшей плотностью, чем у золота. После нескольких опытов с обоими драгоценными металлами Архимед смог точно подсчитать, сколько серебра было использовано в венце и сколько золота было украдено.