Журнал «Компьютерра» № 6 от 14 февраля 2006 года

Первое: почему она так сложна? Конечно, можно сказать «потому что вот уже полвека пытаются и никак не могут», но есть и более интересные и глубокие причины. Я уже упоминал в сноске, что если рассмотреть «классы с оракулами», то для разных оракулов ответ получится разным. Переход от обычных классов к классам с произвольными оракулами называется релятивизацией. Большинство существующих идей и методов доказательства теорем в теории сложности вычислений выдерживают релятивизацию, то есть могут быть обобщены на случай произвольного оракула. Стало быть, все эти идеи и методы для доказательства (не)равенства P и NP неприменимы! Более того, в 1996 году Александр Разборов (наш соотечественник, лауреат премии Неванлинны) и Стивен Рудих (Steven Rudich) ввели класс так называемых естественных доказательств и показали, что нет естественных доказательств, которые бы позволили доказать, что SAT не решается за полиномиальное время. Под впечатлением таких результатов некоторые математики начинают склоняться к тому, что несовпадение P и NP может оказаться недоказуемым в рамках существующей аксиоматики. В 2002 году проводился даже опрос на эту тему. Из ста исследователей на вопрос «как вы считаете, равны ли P и NP?» 61 ответил «нет», 9 — «да», 22 — «сомневаюсь» и 8 — «наверное, вопрос не зависит от существующей аксиоматики».

Второе: что будет следовать из различных решений этой задачи. Если P не равно NP, все в порядке. Небо не упадет на землю, Запад не сойдется с Востоком, а пришествие Зверя будет отложено до лучших времен. А вот если P=NP, то начнется такое… Практика показывает: на деле «полиномиальное» означает «относительно легко решаемое». И если появятся способы относительно быстро решать NP-полные проблемы — могут возникнуть очень серьезные проблемы уже вне математики. Например, современная практическая криптография, основанная на RSA или DES/AES, окажется бесполезной. К чему это приведет, любой человек, знакомый с тем, как нынче хранится защищенная информация (номер вашей банковской карточки, пароль к вашему почтовому ящику и т. п.), легко может себе представить. Кроме того, это повлечет за собой серьезные изменения в наших представлениях об иерархии сложностных классов: целый бесконечный набор классов, которые сейчас считаются разными — так называемая полиномиальная иерархия, — «схлопнется» до одного-единственного класса P, и многие другие весьма правдоподобные предположения окажутся неверными. И все же, в отличие от гипотезы Римана, здесь нельзя сбрасывать со счетов вероятность того, что классы окажутся равными: уже много открытий чудных приготовила нам теория сложности, и как знать — может быть, наша уверенность в том, что P не равно NP, — тоже не более чем иллюзия…

Подведем итоги. Проблема равенства или неравенства классов P и NP — одна из центральных проблем современной информатики. Как мы только что видели, на предположении о неравенстве этих классов держится очень большая часть повседневной практической безопасности каждого из нас. Так что миллион за такую проблему — совсем не много, пусть даже платят за любое из двух решений — что за «равно», что за «не равно»[Правда, я не знаю, заплатят ли миллион за доказательство того, что это (не)равенство нельзя доказать. Думаю, да]. А еще эта проблема, наверное, одна из самых доступных для понимания непрофессионального математика — что порождает поток дилетантских, очевидно неверных решений. Надеюсь, читатели «КТ» будут умнее и если уж и придумают решение, то такое, чтобы о нем стоило написать отдельную подробную статью, а лучше — книгу.

NP-полнота как генератор драйва

Cреди NP-полных задач есть и более веселые экземпляры, нежели упоминаемые в статье Сергея Николенко классические проблемы математики. Оказывается, точно такой же полнотой обладают и стратегии некоторых популярных игр. Самые яркие примеры: «Тетрис» и «Сапер» (он же «Минер», «Minesweeper»), пожирающие с одинаковым аппетитом что рабочее, что свободное время. Связаны ли гипнотизирующие свойства игр с (предполагаемым) отсутствием для них простого алгоритма победы — вопрос из области психологии, а психологи, как известно, не склонны к однозначным ответам. Но не так давно было строго математически доказано: нахождение полиномиальных алгоритмов для этих игр повлечет снятие вопросительного знака в гипотезе P=?NP, а стало быть, и падение современной криптографии (по крайней мере, концептуально). В этом смысле «Тетрис» и «Сапер» ничем не хуже зловещего коммивояжера, согласного двигаться лишь по наиболее дешевому маршруту.

NP-полны многие задачи, связанные с даже не с обычным, а с сильно упрощенным офлайновым «Тетрисом», когда поток фигурок, валящихся с потолка, заранее известен, а каждую фигурку можно переворачивать и двигать сколько угодно раз. Среди этих задач — максимизация числа заполненных строк, а также минимизация высоты, на которой в процессе игры находится самый верхний квадратик уже уложенных фигурок (подробнее см. работу исследователей из MIT, arXiv:cs:CC/0210020).