Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Рамануджану наконец-то – слишком поздно – досталось академическое признание. Он стал первым индийцем, которого избрали членом Королевского общества, и Тринити-колледж тоже избрал его своим членом. Это придало Рамануджану новые силы, и он вновь взялся за математику. Но здоровье не улучшалось, и были подозрения, что виной тому – климат Англии. В апреле 1919 г. Рамануджан вернулся в Индию. Долгое путешествие не прошло для него даром, и к моменту прибытия в Мадрас здоровье его вновь ухудшилось. В 1920 г. Рамануджан умер в Мадрасе, оставив вдову. Детей у них не было.

* * *

С математикой Рамануджана можно познакомиться по четырем основным источникам: это опубликованные статьи, три переплетенных блокнота, квартальные отчеты Мадрасскому университету и неопубликованные рукописи. Четвертый «утерянный» блокнот – связка разрозненных листков – вновь обнаружил в 1976 г. Джордж Эндрюс, но некоторые рукописи до сих пор не найдены. «Записные книжки Рамануджана» в трех томах, включающие доказательства всех его формул, вышли под редакцией Брюса Берндта.

У Рамануджана была необычная биография и не было формального математического образования. Вряд ли стоит удивляться тому, что его математика весьма специфична. Самой сильной стороной его таланта была немодная область математики – производство остроумных и замысловатых формул. Рамануджан был преимущественно человеком формулы, и в этом ему не было равных, за исключением нескольких старых мастеров, таких как Эйлер или Якоби. «В каждой из формул Рамануджана всегда кроется больше, чем видно на первый взгляд», – писал Харди. Большая часть его результатов имеет отношение к бесконечным рядам, интегралам и цепным дробям. В качестве примера цепной дроби можно привести выражение

которое было написано на последней странице его письма в составе по-настоящему жуткой, но правильной формулы. Некоторые из своих формул Рамануджан применял в теории чисел, где его особо интересовала аналитическая теория чисел, которая ищет простые приближения для таких величин, как число простых чисел до заданного предела – теорема о простых Гаусса (глава 10) – или среднее число делителей у заданного числа.

Его публикации во время пребывания в Кембридже готовились под влиянием общения с Харди и были написаны в традиционном стиле, со строгими доказательствами. Результаты, записанные в его блокнотах, выглядят совершенно иначе. Поскольку он был самоучкой, представления о доказательстве у него были совсем не строгие. Для Рамануджана было достаточно, если при помощи численных данных пополам с формальными рассуждениями он мог получить правдоподобный вывод – и при этом интуиция говорила ему, что ответ верен. Как правило, его результаты были верны, но в доказательствах часто имелись пробелы. Иногда эти пробелы мог заполнить любой компетентный математик, а иногда для этого требовались нестандартные аргументы. В редких случаях в его результатах обнаруживалась ошибка. Берндт утверждает, что, если бы Рамануджан «мыслил как хорошо подготовленный математик, он не стал бы записывать многие из тех формул, которые он, по собственному мнению, доказал» и математика от этого серьезно пострадала бы.

Хорошим примером может служить результат, который Рамануджан называл своей «мастер-формулой»[28]. Его доказательство включает в себя разложения в ряд, смену порядка суммирования и интегрирования и другие аналогичные приемы. Поскольку он использует при этом бесконечные процессы, каждый его шаг сопряжен с опасностью. Величайшие аналитики почти весь XIX век разбирались, когда подобные процедуры допустимы. Условия, которые, по Рамануджану, делают его формулу верной, чрезвычайно недостаточны. Тем не менее почти все результаты, которые он выводит из своей мастер-формулы, верны.

* * *

Часть самых поразительных работ Рамануджана относится к теории разбиений – одного из разделов теории чисел. Взяв некоторое натуральное число, мы спрашиваем, сколькими способами его можно разбить на слагаемые, то есть записать в виде суммы меньших натуральных чисел. К примеру, число 5 можно разбить на слагаемые семью разными способами:

5 4 + 1 3 + 2 3 + 1 + 1 2 + 2 + 1 2 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1