Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

…имел обо всем очень личное и очень категоричное мнение… К несчастью, он всю жизнь был уверен, что всегда прав не только в математике, но и в медицине, так что для врачей он был очень сложным пациентом. После сильного кровотечения язвы двенадцатиперстной кишки… он придерживался чрезвычайно строгой (слишком строгой?) диеты, из-за которой постепенно терял вес.

Что произошло далее, вам уже известно. В свидетельстве о смерти причиной смерти названо «недоедание и истощение, вызванное расстройством личности». Истощение возникает в результате недостатка пищи. Он весил тогда всего 30 кг.

* * *

С древнейших времен математика считалась ярким примером того, что просто верно – абсолютная истина, без всяких «если» или «но». Два плюс два будет четыре: берите, что дают, и не жалуйтесь. Единственным конкурентом математики в притязаниях на абсолютную истину была религия (конфессия и секта на выбор верующего, разумеется), но даже здесь у математики имелось тайное преимущество. Религии, как сказал Терри Пратчетт, истинны «на заданную величину истинности». Математика могла доказать свою истинность.

Когда философы, логики и математики, интересы которых влекли их в этом направлении, начали глубже задумываться о том, что подразумевает такой тип абсолютной истины, они поняли, что он до некоторой степени иллюзорен. Два плюс два равно четырем для натуральных чисел, но что, собственно, представляет собой число? Ну и заодно, что такое «плюс» и «равно»? Математики ответили на этот вопрос тем, что определили континуум действительных чисел, но Кронекер считал их уже «делом рук человеческих», считая, что только целые числа даны человеку Богом. Трудно понять, как произвольное создание человеческого разума может представлять абсолютную истину. В лучшем случае это результат договоренности людей.

Представление о том, что математика состоит из непреложных истин, было оставлено в пользу концепции, по которой они представляют собой выводы из явных допущений, сделанные по некоторой определенной системе логики. В этом случае честность требует последовать примеру Евклида и сформулировать эти допущения и логические правила в виде системы явных аксиом. Это метаматематика – применение математических принципов к внутренней логической структуре самой математики. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед в своей книге 1910–1913 гг. Principia Mathematica – название представляло собой вполне сознательную отсылку к Ньютону – первыми проложили этот путь, и после нескольких сотен страниц сумели-таки определить число «один». После этого темп подрос и более продвинутые математические концепции появлялись все быстрее и быстрее, пока, наконец, не стало очевидно, что все остальное можно получить аналогичным образом; после этого авторы сдались. От одной из технических особенностей – теории «типов», введенной для того, чтобы избежать некоторых парадоксов, – позже пришлось отказаться в пользу других структур аксиом для теории множеств, самыми популярными из которых являются системы Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля.

Именно на этом фоне Гильберт попытался завершить логический круг, доказав, что подобная аксиоматическая система логически непротиворечива (никакое доказательство не приводит к противоречию) и полна (любое осмысленное утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть). Первый момент принципиально важен, поскольку в системе, которая не является непротиворечивой, утверждение «два плюс два равно пяти» можно доказать. В самом деле, любое утверждение может быть доказано. Второй шаг отождествляет понятия «верный» и «можно доказать» и «ложный» и «нельзя доказать». Гильберт сосредоточился на аксиоматической системе для арифметики, поскольку в Principia Mathematica все в математике выводилось из нее. Продолжив мысль Кронекера, после того как Бог дал нам целые числа, в остальном человек может разобраться сам. В программе Гильберта была прописана серия шагов, которая, по его мнению, должна была привести к цели, и основывалась она на логической сложности задействованных утверждений; ему даже удалось разобраться в некоторых не слишком сложных случаях. Все это выглядело перспективно.

* * *