Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Гамильтон показал, что эта идея работает в двух измерениях: бугристая поверхность, на которой любая замкнутая кривая сжимается в точку, может быть разглажена при помощи своего потока Риччи до состояния, когда она будет обладать постоянной положительной кривизной – то есть превратится в сферу. Но в трех измерениях существуют препятствия, и поток может застрять там, где кусочки многообразия сходятся и образуют морщины. Перельман нашел способ обойти эту проблему – для этого он предлагал, по существу, отрезать проблемный кусок рубашки, отгладить его отдельно, а затем пришить обратно. В упомянутой статье и последовавшем дополнении утверждалось, что этот метод доказывает и гипотезу Пуанкаре, и гипотезу Тёрстона о геометризации.

Как правило, заявления о найденном решении какой-то известной крупной задачи математическое сообщество поначалу встречает скептически. Большинству математиков случалось находить собственные многообещающие доказательства для какой-то сложной интересующей их задачи – только для того, чтобы обнаружить в нем небольшую незамеченную ошибку. Но в данном случае с самого начала было общее ощущение того, что Перельману, возможно, действительно удалось это сделать. Предложенный им метод доказательства гипотезы Пуанкаре выглядел правдоподобно; гипотеза о геометризации казалась, пожалуй, более проблемной. Однако общего мнения недостаточно: доказательство должно быть проверено. К тому же текст на сайте arXiv – а ничего другого и не было – оставлял множество пробелов, которые читатели должны были заполнять сами; подразумевалось, что эти шаги очевидны. На самом же деле на заполнение этих пробелов и проверку логики доказательства ушло несколько лет.

Перельман необычайно талантлив, и то, что казалось очевидным ему, было далеко не очевидным для математиков, которые пытались проверить его доказательство. Справедливости ради заметим, что они размышляли об этой задаче не так, как он, и далеко не так долго, как он, что ставило их в заведомо невыгодное положение. Кроме того, сам Перельман вел затворнический образ жизни; поскольку время шло, а никто не спешил объявить его работу прорывом и эпохальным событием – каким она в действительности и являлась, – он испытывал досаду и разочарование. К тому моменту, когда его доказательство было принято, он полностью оставил математику[34]. Перельман отказался от приза в миллион долларов, который был ему предложен, несмотря на то что условий конкурса не выполнил – его доказательство не было опубликовано в уважаемом журнале. Он отказался также от Филдсовской медали, которую обычно считают математическим эквивалентом Нобелевской премии, хотя сумма денежного вознаграждения при ней намного меньше. Через некоторое время Институт Клэя организовал на эти деньги краткосрочную стипендию для выдающихся молодых математиков в Институте Анри Пуанкаре в Париже.

* * *

Сегодня многие математики пользуются компьютерами не только для переписки по электронной почте и путешествий по сети, даже не только для больших численных вычислений, но как инструментом, который помогает им исследовать различные задачи почти экспериментальным методом. В самом деле, время от времени появляются доказательства, полученные при помощи компьютеров, часто в связи с важными задачами, не поддавшимися пока традиционным методам атаки при помощи ручки, бумаги и человеческого разума. Столь спокойное отношение к компьютерам стало распространенным относительно недавно; дело не в том, что математики все такие ретрограды и сопротивляются внедрению новых технологий, но прежде возможности компьютеров были слишком ограниченными как по скорости, так и по объему памяти. Серьезная математическая задача может оказаться неподъемной даже для самого быстрого суперкомпьютера; в одном недавнем исследовании результат компьютерного расчета, если бы его полностью распечатали, оказался бы размером с Манхэттен.

Возродив трехмерную гиперболическую геометрию, Тёрстон одним из первых воспользовался компьютером на переднем крае геометрии. В конце 1980-х гг. Национальный фонд развития науки выделил средства на новый Центр геометрии в Миннесотском университете, где проводились исследовательские встречи и публичные информационные мероприятия. Кроме того, Центр продвигал использование компьютерной графики, и два его видео получили значительную известность. Они и сейчас доступны в сети, хотя сам Центр прекратил существование. В первом из них[35] – «Не узел» (Not Knot) – зритель пролетает рядом с различными трехмерными гиперболическими многообразиями, открытыми Тёрстоном. Сложная и захватывающая графика фильма оказалась настолько психоделической, что группа Greatful Dead использовала ее на своих концертах. Второе видео[36] – «Наизнанку» (Outside In) – представляет собой анимацию замечательной теоремы, которую еще студентом в 1957 г. открыл Смейл. Речь в ней идет о том, что можно вывернуть сферу наизнанку.