Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

После этого в нашей истории появляется новая тема – яркий след, оставленный первой женщиной-математиком, о которой мы будем говорить. Конкретно речь пойдет о вычислительной математике. Августа Ада Кинг, графиня Лавлейс, работала помощницей у Чарльза Бэббиджа, упорного человека, убежденного в потенциальном могуществе вычислительных машин. Он придумал Аналитическую машину – программируемый вычислитель, сделанный из храповиков и шестеренок, коронный номер чуть ли не всех научно-фантастических произведений в стиле стимпанк. Аду же общественное мнение упрямо называет первым программистом в истории, хотя это довольно спорное утверждение. Компьютерная тема продолжится рассказом о Джордже Буле, чьи «Законы мышления» заложили фундаментальную математическую основу для цифровой логики современных компьютеров.

По мере того как математика становится более разнообразной, то же происходит и с нашим повествованием, прорубающим путь в новые области все расширяющихся джунглей. Бернард Риман блестяще умел вскрывать простые общие идеи, стоящие за сложными на первый взгляд концепциями. Ему мы обязаны, в частности, некоторыми фундаментальными понятиями геометрии, в первую очередь искривленными «многообразиями», на которых построена революционная теория гравитации – общая теория относительности Альберта Эйнштейна. Но помимо этого он сумел сделать гигантский шаг вперед в теории простых чисел, связав при помощи своей «дзета-функции» теорию чисел и комплексный анализ. Гипотеза Римана о нулях этой функции – одна из величайших и важнейших нерешенных задач во всей математике, и за ее решение объявлен приз в $1 млн.

Далее идет Георг Кантор, изменивший представления математиков об основах их собственной науки введением теории множеств и определивший бесконечные аналоги натуральных чисел 1, 2, 3, …, что привело к открытию того факта, что одни бесконечности могут быть больше других – в строгом, продуманном и полезном смысле. Как многих новаторов, Кантора при жизни не понимали и подвергали насмешкам.

Далее на сцене появляется наша вторая женщина-математик, невероятно талантливая Софья Ковалевская. Ее биография извилиста и тесно связана с русским революционным движением, а также осложнена препятствиями, которые всякое общество, где доминируют мужчины, ставит на пути блестящих женщин-интеллектуалок. Поразительно, что она вообще сумела чего-то добиться в математике. Мало того, ей принадлежат замечательные открытия в решении уравнений в частных производных, исследовании движения недеформируемого тела, структуры колец Сатурна и преломления света кристаллами.

Наша история набирает ход. На рубеже XIX–XX вв. одним из ведущих математиков мира был француз Анри Пуанкаре. Окружающие считали его эксцентричным, но на самом деле он был чрезвычайно проницателен. Пуанкаре одним из первых распознал значение новой, только что зародившейся математической области – топологии, или «геометрии резинового листа», в которой фигуры можно непрерывно деформировать, – и распространил ее с двух измерений на три и более. Он применил ее законы к дифференциальным уравнениям и исследовал задачу трех тел в Ньютоновом поле тяготения. Это привело его к открытию возможности детерминистического хаоса – случайного на первый взгляд поведения в детерминированных системах. Кроме того, он вплотную, еще до Эйнштейна, подошел к открытию специальной теории относительности.

В Германии во времена Пуанкаре мы видим Давида Гильберта, чья деятельность разделяется на пять отдельных периодов. Во-первых, он вслед за Булем занимался исследованием «инвариантов» – алгебраических выражений, которые сохраняют форму, несмотря на изменение координат. Затем Гильберт последовательно изложил основные положения теории чисел. После этого он вновь заглянул в Евклидовы аксиомы геометрии, нашел их недостаточными и добавил еще несколько, чтобы закрыть логические прорехи. Далее подался в математическую логику и запустил программу, целью которой было доказать, что под математику можно подвести аксиоматическую базу и что она будет непротиворечивой (то есть никакие логические рассуждения не приведут к противоречию) и полной (то есть любое утверждение в рамках этой системы может быть либо доказано, либо опровергнуто). Наконец, он обратился к математической физике, едва не обогнав Эйнштейна на пути к общей теории относительности, и ввел понятие Гильбертова пространства, центральное в квантовой механике.