Значимые фигуры

Следовательно, число разбиений числа 5 составляет p(5) = 7. Величина p(n) стремительно растет с ростом n. К примеру, p(50) = 204 226, а p(200) равно внушительному 3 972 999 029 388. Простой формулы для p(n) не существует. Однако можно поискать приближенную формулу, задающую общий порядок величины p(n). Это задача аналитической теории чисел, причем одна из наиболее неподатливых. В 1918 г. Харди и Рамануджан преодолели технические трудности и вывели-таки приближенную формулу – довольно сложный ряд, включающий в себя комплексные корни 24-й степени из единицы. Затем они обнаружили, что при n = 200 одно только первое слагаемое дает первые 6 значащих цифр точного значения. Добавив к нему еще всего лишь 7 слагаемых, они получили число 3 972 999 029 388,004, целая часть которого равна точной величине. Они заметили, что этот результат «позволяет однозначно предположить, что можно получить формулу для p (n), которая не только будет выявлять его порядок величины и структуру, но и может быть использована для вычисления его точной величины для любого n», после чего доказали именно это. Должно быть, это один из редчайших случаев, когда поиск приближенной формулы в результате привел к точной формуле.

Кроме того, Рамануджан нашел в разбиениях кое-какие замечательные закономерности. В 1919 г. он доказал, что p(5k + 4) всегда делится на 5, а p(7k + 5) всегда делится на 7. В 1920 г. он заявил еще несколько аналогичных результатов: к примеру, p(11k + 6) всегда делится на 11; p(25k + 24) делится на 25; p(49k + 19), p(49k + 33), p(49k + 40) и p(49k + 47) делятся на 49; p(121k + 116) делится на 121. Обратите внимание: 25 = 5², 49 = 7², а 121 = 11². Рамануджан говорил, что, насколько он может судить, такие формулы существуют только для делителей вида 5^a7^b11^c, но это оказалось неверным. Артур Аткин обнаружил, что p (17303k + 237) делится на 13, а в 2000 г. Кен Оно доказал, что соответствия такого рода существуют для всех простых модулей. Еще через год он и Скотт Алгрен доказали, что они существуют для всех модулей, не кратных 6.

* * *

Некоторые теоремы Рамануджана остаются недоказанными и по сей день. Одна из них, «сдавшаяся» около 40 лет назад, особенно значительна. В статье 1916 г. Рамануджан исследовал функцию τ (n), определенную как коэффициент при x^n–1 в разложении

[(1 – x) (1 – x²) (1 – x³)…]²⁴.

Таким образом, τ(1) = 1, τ(2) = –24, τ(3) = 252 и т. д. Эта формула исходит из глубокой и красивой работы XIX в. по эллиптическим функциям. Рамануджану τ(n) нужна была для решения задачи о степенях делителей n, и ему необходимо было знать, насколько она велика. Он доказал, что ее величина не превосходит n⁷, но предположил, что этот результат можно улучшить до n^11/2. В качестве гипотезы он предложил две формулы:

τ(mn) = τ(m) τ(n),

если m и n не имеют общих делителей;

τ(pⁿ⁺¹) = τ(p) τ(pⁿ) – p¹¹τ (p^n–1) для всех простых p.

С этими формулами несложно вычислить τ(n) для любого n. Луи Морделл доказал их в 1919 г., но гипотеза Рамануджана о порядке величины τ(n) пока сопротивляется всем усилиям.

В 1947 г. Андре Вейль, пересматривая старые результаты Гаусса, понял, что их можно применить к целым решениям различных уравнений. Следуя интуиции и воспользовавшись забавными аналогиями с топологией, он сформулировал серию технически довольно сложных результатов – гипотезы Вейля. Эти гипотезы заняли центральное место в алгебраической геометрии. В 1974 г. Пьер Делинь доказал их, а годом позже он и Ясутака Ихара вывели из них гипотезу Рамануджана. Тот факт, что для обоснования его невинной на первый взгляд гипотезы потребовался такой крупный и новаторский прорыв, указывает на масштаб и глубину интуиции Рамануджана.

Среди самых загадочных изобретений Рамануджана – «ложные тета-функции», которые он описал в последнем письме к Харди в 1920 г.; подробности были позже найдены в его потерянном блокноте. Якоби ввел тета-функции как альтернативный подход к эллиптическим функциям. Они представляют собой бесконечные ряды, которые преобразуются очень простым способом, если к переменной добавляются подходящие константы, а эллиптические функции можно строить путем деления одной тета-функции на другую. Рамануджан определил несколько аналогичных рядов и заявил большое число формул с их использованием. В то время вся идея представлялась всего лишь упражнением в обращении со сложными рядами, не связанным ни с чем больше в математике. Сегодня мы понимаем, что дело обстоит совсем не так. Эти ряды имеют важные связи с теорией модулярных форм, которые возникают в теории чисел и также связаны с эллиптическими функциями.

Аналогичная, но самостоятельная концепция – тета-функция Рамануджана – недавно оказалась полезной в теории струн – самой популярной попытке физиков объединить теорию относительности и квантовую механику.

* * *