Знание-сила, 1999 № 01 (859)

Дело в том, что при употреблении таблеток полезный эффект составляет лишь десять процентов, а при новом способе приема витаминов организм усваивает девяносто процентов полезных веществ.

ПРЕДЧУВСТВИЕ «БОЛЬШОГО СЛОМА»

Сергей Смирнов

Как ее доказывали…

Вряд ли хоть один год в жизни нашей редакции проходил 6%з того, чтобы она не получала добрый десяток доказательств теоремы Ферма. Теперь, после тпобеды» над ней, поток поутих, но не иссяк.

Конечно 9 не для того чтобы его высушить окончательно, публикуем мы эту статью. Мне в свое оправдание – что, мол, вот почему мы отмалчивались, сами не доросли еще до обсуждения столь сложных проблем.

• Пьер Ферма (1601 – 1665) – автор теоремы, которая была доказана лишь в конце XX века

Но если статья действительно покажется сложной, загляните сразу в ее конец,. Вы должны будете почувствовать, что страсти поутихли временно, наука не окончена, и вскорости новые доказательства новых теорем направятся в редакции.

Кажется, XX век прошел не зря. Сначала люди создали на миг второе Солнце, взорвав водородную бомбу. Потом они прогуливались по Луне и, наконец, доказали пресловутую теорему Ферма. Из этих трех чудес первые два у всех на слуху, ибо они вызвали огромные социальные последствия. Напротив, третье чудо выглядит очередной ученой игрушкой – в одном ряду с теорией относительности, квантовой механикой и теоремой Геделя о неполноте арифметики. Впрочем, относительность и кванты привели физиков к водородной бомбе, а изыскания математиков наполнили наш мир компьютерами. Продолжится ли этот ряд чудес в XXI веке? Можно ли проследить связь между очередными учеными игрушками и революциями в нашем быту? Позволяет ли эта связь делать успешные предсказания? Попробуем понять это на примере теоремы Ферма.

Заметим для начала, что она родилась гораздо позже своего естественного срока. Ведь первый частный случай тесуемы Ферма – это уравнение Пифагора X² + Y² = Z² , связывающее длины сторон прямоугольного треугольника. Доказав эту формулу двадцать пять веков назад, Пифагор сразу задался вопросом: много ли в природе таких треугольников, у которых оба катета и гипотенуза имеют целую длину? Кажется, египтяне знали лишь один такой треугольник – со сторонами (3, 4, 5). Но нетрудно найти и другие варианты: например (5, 12, 13), (7, 24, 25) или (8, 15, 17). Во всех этих случаях длина гипотенузы имеет ввд (А² + В² ), где А и В – взаимно простые числа разной четности. При этом длины катетов равны (А² – В² ) и 2АВ.

Заметив эти соотношения, Пифагор без труда доказал, что любая тройка чисел (X = А² – В² , Y = 2АВ, Z = А² + В² ) является решением уравнения X² + Y² = Z² и задает прямоугольник со взаимно простыми длинами сторон. Видно также, что число разных троек такого сорта бесконечно. Но все ли решения уравнения Пифагора имеют такой вид? Ни доказать, ни опровергнутьтакую гипотезу Пифагор не смог и оставил эту проблему потомкам, не заостряя на ней внимание. Кому охота подчеркивать свои неудачи? Похоже, что после этого проблема целочисленных прямоугольных треугольников лежала в забвении семь столетий – до тех пор, пока в Александрии не появился новый математический гений по имени Диофант.

Мы мало знаем о нем, но ясно: он был совсем не похож на Пифагора. Тот чувствовал себя царем в геометрии и даже за ее пределами – будь то в музыке, астрономии или политике. Первая арифметическая связь между длинами сторон благозвучной арфы; первая модель Вселенной из концентрических сфер, несущих планеты и звезды, с Землею в центре; наконец, первая республика ученых в италийском городе Кротоне – таковы личные достижения Пифагора. Что мог противопоставить таким успехам Диофант – скромный научный сотрудник великого Музея, давно переставшего быть гордостью городской толпы?

Только одно: лучшее понимание древнего мира чисел, законы которого едва успели ощутить Пифагор, Евклид и Архимед. Заметим, что Диофант еще не владел позиционной системой записи больших чисел; но он знал, что такое отрицательные числа и, наверное, провел немало часов, размышляя о том, почему произведение двух отрицательных чисел положительно. Мир целых чисел впервые открылся Диофанту как особая вселенная, отличная от мира звезд, отрезков или многогранников. Главное занятие ученых в этом мире – решение уравнений; настоящий мастер находит все возможные решения и доказывает, что других решений нет. Так поступил Диофант с квадратным уравнением Пифагора, а потом задумался: имеет ли хоть одно решение сходное кубическое уравнение X3 + Y3 = Z3 ?