Знание-сила, 2008 № 06 (972)

Излишне говорить, что в эпоху размывания семьи, когда люди существуют — что в браке, что вне его — как миллиарды взаимозаменяемых одиночек, их самоидентификация претерпевает изменения. ПРИНЦИП парности загоняется в подсознание; СЛОВО пара претерпевает инфляцию и обессмысливается. Модным симптомом обзавелся, по слухам, великий шоумен от футбола Д. Бэкхем. У него редкая болезнь: фобия непарных вещей. Всего в доме должно быть в двойном количестве и стоять симметрично. Ну, конечно — модная фобия! Дэвид чувствует: нечто сместилось на небесах. Видимо, он очень боится потерять свою Викторию.

Сергей Николенко

Истина в математике: от Египта к... Египту?

* Сергей Николенко — аспирант Петербургского отделения Математического института им. Стеклова РАН.

В № 4 журнала за 2007 год была опубликована статья профессора МГУ Дмитрия Дмитриевича Соколова «Что есть истина в физике и математике?». Не буду вступать в острую полемику по поводу содержания статьи, хотя, конечно, за филологию обидно. Молчу уж о презрительном тоне автора, но разве можно сравнивать литературоведческие работы Лотмана с математической лингвистикой по критерию «используется ли там математика»? На мой взгляд, упрекать Лотмана за то, что у него нет математики — это все равно, что упрекать какой-нибудь раздел физики за то, что там не используются квантовые группы и группы Шевалле типа E8: вот, теоретики-суперструнщики уже доросли до последних алгебраических достижений, а вы как же? Да и за философию обидно — жаль, что автор не раскрыл, за что же физики так не любят философов, а просто походя посмеялся неизвестно над чем. Возможно, с Дмитрием Дмитриевичем можно было бы начать конструктивный диалог на эти темы, тем более что возможность «полемизировать на страницах журнала» наполняет мою душу почти священным трепетом.

Но сейчас речь не о том. В статье «Что есть истина в физике и математике?» много и по делу было сказано об истине в физике, а вот проблемы математической истины остались практически не освещенными. Может показаться (и неспециалистам часто кажется), что в математике с истиной все в полном порядке: у нас есть четкое общепринятое понятие доказательства. Доказательства эти ясны и легко проверяются специалистами, да и речь идет не об окружающем мире, на который априори может быть много разных точек зрения, а об идеальных объектах, свойства которых напрямую (хотя и нетривиально) следуют из определений.

Здесь хочется процитировать автора, которого уважает даже Дмитрий Дмитриевич. Иммануил Кант называл математику «гордостью человеческого разума» и говаривал: «В любой науке столько истины, сколько в ней математики». В «Критике чистого разума» Кант раскрывает свою мысль подробнее:

«Разум в своем эмпирическом применении не нуждается в критике, потому что его основоположения постоянно проверяются критерием опыта; точно так же не нужна критика его и в математике, где понятия должны тотчас же быть показаны in concrete в чистом созерцании и тем самым все необоснованное и произвольное сразу обнаруживается... Математика дает самый блестящий пример чистого разума, удачно расширяющегося самопроизвольно, без помощи опыта. Примеры заразительны, особенно для одной и той же способности, которая, естественно, льстит себя надеждой достигнуть и в других случаях такого же успеха, какой выпал на ее долю в одном случае. Поэтому чистый разум надеется в трансцендентальном применении столь же удачно и основательно расшириться, как это ему удалось в математике, в особенности если он применит тот же метод, который принес столь очевидную пользу в математике».

Суть ясна: для Канта математика — очевидный и первейший пример торжества «чистого разума», и он надеется поднять остальные методы рассуждений до этого идеала. Однако так ли все безупречно, как нам хотелось бы верить? Примем, что понятие истины в математике действительно не имеет отношения к описанию окружающего мира, а фактически сводится к понятию математического доказательства; если мы сейчас ударимся в обсуждение соотношения реального и идеального миров, мы не то что до истины, а и до конца статьи добраться не сможем. Но даже с доказательствами, увы, все не так очевидно. Чтобы понять, как сейчас обстоят дела и куда мы катимся, придется начать с самого начала.

Доказательства до логики