Золотой билет

Психолог проводит эксперимент над математиком. Математика посадили в маленький деревянный сарай; на полу лежит лучина для растопки, рядом стоит стол, а на нем – ведро с водой. Психолог поджигает лучину. Математик хватает ведро и заливает огонь водой.

Пока все идет по плану. Психолог повторяет эксперимент, изменив одну незначительную деталь. Математика снова сажают в сарай; внутри тот же стол, на полу такая же лучина, есть и ведро с водой, но стоит оно не на столе, а рядом с лучиной на полу. Психолог поджигает лучину. Математик хватает ведро и ставит его на стол. В результате сарай выгорел дотла; математика, к счастью, успели в последний момент вытащить.

«Почему вы просто не залили огонь?!» – спрашивает психолог. «Я свел новую задачу к уже решенной», – отвечает математик.

Старый математический анекдот

Первая NP-полная задача

В 1970 году Том Хал, глава факультета информатики Университета Торонто, загорелся идеей переманить к себе Стивена Кука, которому не хотели давать постоянное место в Калифорнийском университете в Беркли. Зная любовь Кука к парусному спорту, Хал отвез его на озеро Онтарио: он хотел доказать, что в окрестностях Торонто ходить под парусом почти так же приятно, как и в заливе Сан-Франциско. Хитрость удалась, и осенью 1970 года Кук пополнил ряды специалистов Торонтского университета. Со стороны Хала это был блестящий ход, поскольку в скором времени Кук прославился на весь мир и стал самым известным канадским ученым в области теории вычислений.

Кук проводил исследования на стыке математической логики и теоретической информатики. Той осенью он отправил одну из своих работ на рассмотрение комиссии III Международного симпозиума по теории вычислений (Symposium on the Theory of Computing, сокращенно – STOC), проводимого Ассоциацией вычислительной техники. Симпозиум должен был состояться в мае 1971 года. В статье Кука содержались результаты, полученные им задолго до того и не вызвавшие в свое время ажиотажа. Исследования ученого заинтересовали комиссию, и заявку приняли. К началу конференции Кук почти все переделал; в новой статье, которая называлась The Complexity of Theorem-Proving Procedures, он впервые сформулировал проблему равенства классов P и NP и тем самым полностью изменил ход истории.

Чтобы лучше понять результаты Кука, вернемся к рассмотренной в предыдущей главе задаче о клике. Как вы помните, кликой мы называем группу жителей Королевства, в которой все дружат между собой. На представленной ниже схеме дружеских связей Алекс, Кэти и Эрик образуют клику, а вот Алекс, Дэвид и Эрик – нет, поскольку Алекс не дружит с Дэвидом.

Рис. 4.1. Задача о клике

Мы уже знаем, что в Королевстве есть полусекретное и довольно многочисленное сообщество «Альфа». «Альфовцы» утверждают, что все они дружат между собой, т. е. образуют гигантскую клику. Если это действительно так, то какие сведения можно почерпнуть о них из приведенной выше схемы? Теоретически каждый из пяти может входить в «Альфу». Нельзя исключить вероятность того, что Алекс или Дэвид входят в сообщество, однако они не могут быть там одновременно, поскольку дружбы между ними нет; значит, один из них в сообщество точно не входит. Запишем этот вывод в виде логического выражения:

Алекс не в «Альфе» ИЛИ Дэвид не в «Альфе».

«ИЛИ» здесь не исключающее: возможен вариант, при котором ни Алекс, ни Дэвид не входят в сообщество. Алекс и Барбара тоже враждуют, а следовательно – не могут оба входить в «Альфу». Запишем и это:

Алекс не в «Альфе» ИЛИ Барбара не в «Альфе».

Оба утверждения должны выполняться одновременно, а значит, мы имеем:

(Алекс не в «Альфе» ИЛИ Дэвид не в «Альфе»)

И

(Алекс не в «Альфе» ИЛИ Барбара не в «Альфе»).

Барбара и Дэвид – друзья, поэтому они вполне могут одновременно входить в «Альфу», и построенное нами выражение такой возможности не исключает. Проанализировав всю схему, мы в итоге получим следующее выражение:

(Алекс не в «Альфе» ИЛИ Дэвид не в «Альфе») И (Алекс не в «Альфе» ИЛИ Барбара не в «Альфе») И (Дэвид не в «Альфе» ИЛИ Кэти не в «Альфе») И (Кэти не в «Альфе» ИЛИ Барбара не в «Альфе»).