Золотой билет

Выступление Карпа стало самым знаменательным событием на Конференции по вопросам сложности вычислений, проведенной в 1972 году Исследовательским центром IBM имени Томаса Дж. Уотсона. Будущее нового направления активно обсуждалось на итоговом заседании организаторской комиссии. Одной из главных тем был вопрос о том, как из горстки разрозненных результатов – нескольких алгоритмов и нижних оценок сложности – построить единую теорию. Участники заседания, среди которых был и Ричард Карп, вряд ли отдавали себе отчет, что ответ на этот вопрос находится у них перед глазами – в работах Кука и самого Карпа, описывающих классы P и NP, понятие сводимости, а также свойство, которое позже назовут NP-полнотой.

Карп прекрасно понимал, что новой области науки требуется хорошее название:

«Термин „вычислительная сложность“ представляется мне чересчур широким – по крайней мере до тех пор, пока мы не включили сюда работы Блюма и его последователей. „Реальная вычислительная сложность“ подходит больше для какой-нибудь практической, инженерной дисциплины, ну а „сложность компьютерных вычислений“ вообще неверно отражает суть».

В конце концов победило название «вычислительная сложность». Вопрос о равенстве P и NP приобрел огромное значение и быстро затмил все остальные направления исследований в данной области. Абстрактная теория сложности отошла на второй план; даже Блюм переключился на криптографию и верификацию программ. В 1995 году ученый получил премию Тьюринга за свою активную исследовательскую деятельность в 1960–1980-х годах. Когда много лет спустя его спросили, почему он все-таки решил сменить направление, Блюм ответил: «Потому что Кук был прав».

На Востоке

В СССР проблемами теоретической кибернетики занимались многие выдающиеся ученые. Мы подробно остановимся на трех из них; все они являются представителями различных подходов к методу перебора.

1. Сергей Всеволодович Яблонский первым применил перебор для поиска минимальных схем, реализующих дискретные функции. К сожалению, его самонадеянность в сочетании с огромным влиянием, которое он приобрел в научной среде, тормозили развитие теории вычислительной сложности.

2. Андрей Николаевич Колмогоров – крупнейший ученый в истории русской науки – предложил в качестве меры сложности алгоритмическую информацию.

3. Ученик Колмогорова Леонид Анатольевич Левин независимо от Кука сформулировал проблему равенства классов P и NP и пришел к понятию NP-полноты. На родине защитить диссертацию он не смог по политическим причинам.

Сергей Всеволодович Яблонский

В Советском Союзе исследования в области теории вычислений проводились в рамках теоретической кибернетики. Активное развитие этой области началось в 1950-х годах, когда электронные вычислительные машины были взяты на вооружение военными. Сергей Яблонский родился в 1924 году в Москве. Вернувшись с фронта после окончания Второй мировой войны, он продолжил изучать математику в Московском государственном университете. В 1953 году Яблонский защитил кандидатскую диссертацию под руководством Петра Сергеевича Новикова, который одним из первых в СССР начал заниматься проблемами вычислимости. Вместе с Алексеем Андреевичем Ляпуновым, также работавшим под руководством Новикова, Яблонский проводил в МГУ семинары по вопросам реализации булевых функций. Яблонский и Ляпунов организовывали и направляли всю исследовательскую деятельность в области теории вычислений.

Проблема выполнимости, упомянутая в четвертой главе, касается логических формул, т. е. формул, в которых основными операциями являются «И», «ИЛИ» и «НЕ». На самом деле любой вычислительный процесс можно представить в виде набора таких операций, или, другими словами, в виде схемы из элементов «И», «ИЛИ» и «НЕ». Одни задачи решаются схемами небольшого размера, для других необходимо огромное число элементов. Возникает понятие схемной сложности, и в начале пятидесятых Яблонский этим понятием заинтересовался.

Основатель теории информации – американский ученый Клод Шеннон – доказал, что некоторые логические функции имеют чрезвычайно высокую схемную сложность. Яблонский решил исследовать сложность построения таких функций. Хоть это и не очевидно, но если P и NP окажутся не равны, отсюда будет следовать, что некоторые легко формулируемые поисковые задачи нельзя решить при помощи маленьких схем.