Золотой билет

Теперь предположим, что он выберет последний вариант – «открыть все пакетики, расположенные на тех же позициях, что и заданные цифры исходной головоломки». Открыв пакетики, Боб видит такую картину.

Рис. 8.12. Открытые позиции соответствуют заданным цифрам

Рис. 8.13. Новый порядок цифр

Это единственный случай, когда Боб получает от Элис еще и таблицу кодировки, при помощи которой он проверит, соответствуют ли открытые цифры тем, что были указаны в задаче изначально. Например, согласно схеме, цифра 9 должна была превратиться в цифру 3… так и есть!

Если Элис и правда решила задачу и четко следовала правилам, она пройдет любую проверку. А что же Боб? Получит ли он хоть какую-нибудь подсказку, когда откроет строку, столбец или блок 3 × 3? Исключено: перед ним будут лишь цифры от 1 до 9, расположенные в случайном порядке.

Последний вариант даст ему перестановку цифр, при помощи которой было зашифровано решение. Но что он при этом узнает? Ничего.

Другое дело, если Элис наврала: один из тестов обязательно провалится, и она ничего не сможет с этим поделать. Когда Боб выбирает тест наугад, вероятность попасться на вранье составляет одну двадцать восьмую, или примерно 3,57 %. Не так уж и рискованно, правда? Однако если Элис и Боб проведут 83 эксперимента подряд и при этом будут каждый раз менять схему кодировки, вероятность провалить один из тестов возрастет до 95 %.

Боб убедился, что Элис действительно решила судоку, а ей при этом удалось соблюсти принцип «нулевого разглашения»: о решении Боб знает только то, что оно существует. Эта мысль будет греть его, когда он вернется к головоломке, но справляться ему придется исключительно своими силами.

Мы исходили из предположения, что Боб не хочет слышать никаких подсказок. На случай, если он решит сжульничать и открыть сразу все пакетики, Элис может спрятать цифры в запирающиеся коробочки и по мере необходимости выдавать Бобу ключи.

Теперь представим, что Боб и Элис не работают вместе и вообще находятся в разных городах. Они могут связаться по телефону или электронной почте, однако вместо пакетиков придется придумать что-то другое. Здесь на помощь им придет несложный шифр. Каждому пакетику Элис может присвоить уникальный номер – большое случайное число, последняя цифра которого совпадает с цифрой внутри. Для цифры 2 подойдет, к примеру, 3682502. Затем она зашифрует номера пакетиков своим открытым ключом и отошлет их Бобу. Когда Боб определится с вариантом теста, Элис сообщит ему исходные номера тех пакетиков, которые разрешается открыть. Для проверки Боб повторно зашифрует их открытым ключом и получит те же номера, что Элис выслала ему в начале.

В четвертой главе мы уже упоминали, что решение судоку – задача NP-полная. А раз к судоку сводится любая задача из NP, то и описанный выше метод доказательства с нулевым разглашением также годится для любой NP-задачи. Элис сможет убедить Боба в том, что она нашла максимальную клику, раскрасила карту в три цвета или составила маршрут для коммивояжера, не раскрывая при этом никакой дополнительной информации; о решении Боб будет знать только то, что оно существует.

Классический способ осуществить криптографическую атаку – выдать себя за другого. Защититься от самозванцев помогает доказательство с нулевым разглашением. Происходит это так. Элис выбирает любой известный только ей секрет и шифрует его своим открытым ключом. Ее цель – убедить Боба, что она и вправду Элис. Она, конечно, может отправить ему зашифрованный текст, но тогда Боб получит возможность выдавать себя за нее. Так что Элис проводит доказательство с нулевым разглашением и показывает Бобу, что действительно владеет секретной информацией. В результате Боб верит, что общается именно с Элис, но при этом ничего не знает о ее секрете.

Криптография в играх

Боб и Элис спорят, куда пойти ужинать. Бобу хочется в стейк-хаус, Элис – в рыбный ресторан. В конце концов на помощь призывают орла и решку. Боб подбрасывает монетку и накрывает ее ладонью. Элис ставит на орла. Боб открывает монетку… решка. Этим вечером Боб будет наслаждаться сочным стейком.

Все бы хорошо, но что, если Боб и Элис говорят по телефону или переписываются по почте? Боб может соврать и сказать, что выпала решка, когда на самом деле выпал орел. А может и вообще монетку не бросать. Как убедиться, что он говорит правду?

Простейший способ – положиться на случайное событие, исход которого станет известен всем. Например, договориться, что если последняя цифра промышленного индекса Доу-Джонса на закрытие дня окажется нечетной, то выбирать ресторан будет Боб, а если четной – то Элис. Правда, в субботу торги не ведутся, так что на выходные придется придумывать что-то другое.

В этом случае подойдет рассмотренная ранее схема шифрования с открытым ключом. Боб создает пару ключей, открытый и закрытый. Затем выбирает случайное число, к примеру – 69441251920931124, и шифрует его своим открытым ключом, который отсылает Элис вместе с шифровкой.