Он родился в маленьком украинском городе Белая Церковь. Был рослым и крепким парнем, играл, как и все в футбол, плавал. Когда служил в армии, выступал за свою часть на армейских соревнованиях и на футбольном поле, и на беговой дорожке, и на баскетбольной площадке. Однажды его отрядили и на турнир борцов. Здесь на здоровяка-солдата ростом под два метра обратил внимание опытный тренер Павел Григорьев, предложивший Медведю заняться вольной борьбой всерьез.
В 1961 году Медведь впервые стал чемпионом страны в тяжелом весе. Соперничать ему пришлось с прекрасными борцами, среди которых были Анзор Кикнадзе и Александр Иваницкий. В схватке с Медведем Иваницкий потерпел одно из своих редких поражений. С той поры началась долгая дружба двух великих мастеров вольной борьбы, хотя на ковре они оставались соперниками.
В том же году Медведь дебютировал и на чемпионате мира в Японии. Здесь он потерпел единственное поражение в схватке с немецким борцом Вильфридом Дитрихом, олимпийским чемпионом 1960 года, и поэтому завоевал только бронзовую медаль.
С Дитрихом Медведю впоследствии приходилось встречаться еще не раз.
Ну а пока, после чемпионата мира 1961 года, сбавив вес, он перешел в другую весовую категорию — полутяжелую. Этого потребовали интересы сборной команды. Ведь великолепных тяжеловесов в ней было сразу два — Иваницкий и Медведь. А хорошего полутяжеловеса не было. Вдобавок это давало возможность Иваницкому и Медведю побеждать каждому в своей категории, а не соперничать между собой.
Именно так и случилось на чемпионате мира 1962 года. Иваницкий выиграл золотую медаль в тяжелом весе, а Медведь в полутяжелом. Однако несколько лет Медведь переходил из одной весовой категории в другую. На международных турнирах он выступал как полутяжеловес, на внутрисоюзных соревнованиях как тяжеловес. И здесь Иваницкий становился самым серьезным его соперником.
Побеждал в этом знаменитом соперничестве то один, то другой. В 1962 и 1963 годах, например, чемпионом СССР был Медведь. В 1964 и 1965 годах — Иваницкий. Так продолжалось вплоть до 1967 года, когда Иваницкий ушел из большого спорта. С тех пор на всех борцовских турнирах Медведь выступал только в тяжелом весе.
На первую в своей жизни Олимпиаду 1964 года, проходившую в Токио, Медведь приехал в качестве полутяжеловеса. Именно его, двукратного чемпиона мира, считали одним из главных претендентов на золотую олимпийскую медаль, а другим — турецкого борца Ахмета Айика. На олимпийском турнире Медведь провел пять встреч. В трех из них он тушировал своих соперников. Так ему проиграли румын Франциск Баллю, швейцарец Петер Ютцелер и болгарин Саид Мустафов. С Айиком встреча завершилась вничью. А вот в схватке со шведом Кнутом Эриксоном был момент, когда Медведь оказался на волосок от поражения. Подвела советского борца некоторая самоуверенность.
«Зная, что Эриксон не в очень хорошей форме, — признавался он сам, — я решил пойти на чистую победу. Но, увлекшись, сам попал в критическое положение. Мог потерять все, швед меня совсем «дожал». Все наши, кто был в зале, даже отвернулись от ковра. Наверное, невыносимо было смотреть со стороны, как швед меня «дожимал»».
Очевидец этой драматической схватки заслуженный тренер СССР Аркадий Ленц потом рассказывал о ней так:
«Стремясь как можно скорее закончить схватку чистой победой, Медведь делает неосторожное движение всем туловищем на противника. Эту тактическую ошибку своевременно улавливает опытный и сильный шведский атлет: мгновение — и он, используя движение Медведя, переворачивает его через себя и ставит на мост. Трудно, очень трудно приходится Медведю, редко удается уйти с моста при захвате руки и туловища. Прошла целая минута, а положение не изменилось. Больше того, воодушевленный своим успехом, швед давил с такой силой, что расстояние между ковром и лопатками Медведя сократилось чуть ли не вдвое. Надо было хорошо знать Медведя, чтобы не потерять веры в его возможности. На исходе второй минуты, когда положение казалось критическим, Медведь показал, на что он способен: дрожа от напряжения, он прогнулся, и туловище шведа, словно поднимаемое домкратом, поползло вверх. Медведь сумел не только выйти из этого, казалось бы, совершенно безнадежного положения, но и победил шведа по очкам».
Так, одержав четыре победы и завершив одну схватку вничью, Александр Медведь впервые стал олимпийским чемпионом. Победой завершился олимпийский турнир борцов вольного стиля и для Александра Иваницкого, выступавшего в тяжелом весе.
А на играх XIX Олимпиады 1968 года в Мехико в тяжелом весе заявлен был уже Александр Медведь. И на это раз победа далась ему много тяжелее.
Никто не ожидал, что условия высокогорья скажутся на нем столь сильно, но все время в Мехико Медведь чувствовал себя очень плохо. Высотная болезнь проявляется в сердцебиении, одышке, головокружении, мышечной слабости. Само собой разумеется, недомогание олимпийского чемпиона тщательно скрывалось. Выходя на ковер, он брал себя в руки, и позволял расслабиться только после схватки, в раздевалке.