Воспитывался Николай на правах наследника. Не прозябал в бедности, вопреки мнению его первых биографов, а жил в семье со средним достатком. Все три брата официально считались воспитанниками землемера капитана Шебаршина.
„Черты характера Николая Ивановича, — писал Д.А. Гудков, — целеустремлённость, воля, способность доводить дело до конца; достижение своих целей, несмотря на сопротивление людей и обстоятельств, — всё это было характерно и для Прасковьи Александровны, его матери. Она воспитывала эти черты в сыновьях своим примером, а также, видимо, и сознательно“.
Негласный отец его был тоже достаточно сильной личностью. „Сергей Степанович Шебаршин, — по сведениям Гудкова, — исключительно талантливый, вспыльчивый и борющийся за справедливость человек. Будучи по происхождению „из солдатских детей“, он окончил университет, был геодезистом Сената, а затем странствовал по городам и весям России в качестве землемера…“ На закате жизни он тяжело болел.
В пять лет Николай Лобачевский остался сиротой. Имея на руках трёх сыновей, Прасковья Александровна переехала в Казань и определила их в гимназию за казённый счёт. Старший Александр учился отлично, подавал большие надежды, но вскоре после поступления в Казанский университет (только что открытый) утонул, купаясь в реке.
Николай и Алексей отличались смышлённостью. Правда, Николай имел чересчур живой нрав. Он проказничал, досаждая учителям. Один из них как-то не выдержал:
— Послушай, Лобачевский, да из тебя со временем выйдет настоящий разбойник!
Николай поступил в 1807 году в Казанский университет, имея пусть и неглубокие, но разнообразные знания (изучал французский, латинский, немецкий и татарский языки, логику, философию, геометрию и тригонометрию, механику, физику, химию, естественную историю, архитектуру, фортификацию). Университет переживал пору становления. Студентов было сравнительно немного. Учились они, как говорится, не за страх, а за совесть. Большинство впервые ощутило радость познания. Перед ними открывался чудесный мир мысли и знаний.
С приходом в университет известного математика Бартельса уровень преподавания этого предмета резко повысился. Бартельс приучал студентов к творчеству. Одним из способнейших его учеников стал Николай Лобачевский, к которому в университете было особое отношение. Сокурсники восхищались его выдумками, лихими проделками, а то и безобразиями.
Однажды он смастерил ракету и ночью запустил её на университетском дворе, едва не учинив пожар. Вызвал переполох, угодил в карцер. В другой раз привёл корову, уселся на неё верхом и стал потешать товарищей, изображая вольтижировку. Вдруг на крыльцо вышел ректор, изумлённо глядя на упражнения студента. Последовало наказание. На педагогических советах частенько склонялось его имя: то как ослушника, охальника и безобразника, то как весьма сообразительного ученика.
Инспектор посвятил ему фискальное донесение в педсовет. Отмечал: Лобачевский позволяет „мечтательное о себе самомнение, упорство, неповиновение, грубости, нарушения порядка и отчасти возмутительные поступки“. Вдобавок ещё „явил признаки безбожия“. В результате, как гласил один из протоколов заседания педсовета, „Николай Лобачевский по отличным успехам своим и дарованиям в науках математических мог бы быть удостоен звания студента-кандидата, если бы худое его поведение не препятствовало сему, почему он и не одобрен“.
После проволочек Лобачевский получил степень кандидата, однако чудить не перестал. Ректор Румовский написал: „Он отличные свои способности получает несоответственным поведением“. И всё-таки по настоянию нескольких профессоров своенравного студента удостоили звания магистра. Он написал „Теорию эллиптического движения небесных тел“, высоко оценённую Бартельсом.
Этот учёный оказал самое благотворное влияние на Лобачевского, пробудив в нём любовь к математике и наделив соответствующими знаниями. Бартельс был человеком замечательным. Рассказывали, что на вопрос, кто лучший математик в Германии, Лаплас ответил: „Бартельс“. „А как же Гаусс?“ — спросили его. „О, Гаусс — первый математик в мире“.
Гаусс тоже был учеником Бартельса. Лобачевскому безусловно посчастливилось иметь выдающегося учителя. Но ведь способных учеников в России Бартельс имел немало, а самым прославленным суждено было стать Лобачевскому. Почему? Прежде всего, благодаря неординарной личности, сообразительности, жажде познания и оригинальному складу ума.
В чём же суть научного открытия Лобачевского? „Сооткрыватель“ специальной теории относительности французский математик Анри Пуанкаре утверждал: „Геометрия — это учение о свойствах, которые имели бы инструменты, если бы они были совершенными“. Такое идеальное учение было создано Евклидом. Его геометрию оставалось только заучивать и учитывать. Теория окаменела в своём совершенстве.