100 великих парадоксов

Ах, если б столь волшебный метод удвоения (а почему не утроения, учетверения и так далее?) имел хотя бы какое-нибудь практическое применение! Об этом сведений нет.

Википедия: «Для плоского круга аналогичное свойство неверно. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено на все ограниченные множества как конечно-аддитивная мера, инвариантная относительно движений; в частности, любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь.

Тем не менее некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число частей и составить из них квадрат равной площади (квадратура круга Тарского)».

Чтобы популярно это растолковать, надо быть хорошим специалистом. Поэтому я оставлю цитату из Википедии в её первобытном состоянии. Там же есть такое пояснение: «Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма, если под объёмом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности (свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям). И предполагаем, что объёмы двух конгруэнтных множеств совпадают».

В общем, доказательство теоремы Банаха – Тарского приходится признать весьма замысловатым. Не совсем ясно, почему нельзя создавать что угодно, оперируя нуль-мерными объектами (геометрическими точками и всем тем, что из них построено). Это поистине творение виртуального мира из ничего.

Для непосвящённого теорема Банаха – Тарского выглядит странной выдумкой. К сожалению, мне не удалось выяснить, имеет ли она какое-нибудь практическое значение.

Как утверждает автор Интернета: «Решение этого парадокса… очень важно для теоретической математики». Вполне возможно. Хотелось бы только узнать, в чём заключается теоретическая ценность данного парадокса. Недаром же говорят: нет ничего практичней хорошей теории (авторство этого парадокса выяснить трудно). Австрийский физик Людвиг Больцман: «Помимо своей духовной миссии, теория есть ещё и самое практичное из всего, что можно помыслить; в известном смысле это квинтэссенция практики». М.В. Ломоносов: «Теория без практики мертва и бесплодна». Или он ошибался?

Какой смысл имеет научная теория, не имеющая даже косвенного отношения к реальности, не имеющая никакой практической ценности? Занятная игра ума для узких специалистов, сознающих при этом своё умственное превосходство над профанами…

Возможно, есть какая-то польза в подобных интеллектуальных упражнениях. Скажем, для развития ума и парадоксального мышления. В таком случае их авторы должны бы совершать незаурядные научные открытия. В отношении Банаха и Тарского сообщают только то, что они были хорошими преподавателями.

Парадокс пьяницы

Американский математик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, прежде чем сформулировать данный парадокс, привёл анекдот.

Подвыпивший человек, сидящий у стойки в баре, громко говорит бармену: «Налей мне ещё, и налей всем. Когда я пью, то пьют все! Такой уж я человек».

Довольные посетители выпивают за его здоровье, а он не унимается: «Бармен, ну-ка налей мне ещё, и налей всем! Если я пью, то пьют все. Такой уж я человек».

Все выпивают снова, благодаря щедрого посетителя. А он встаёт, кладёт деньги на стойку и объявляет: «Когда я плачу, платят все! Такой уж я человек».

…Итак, в некое время в каком-то баре, если выпивал один посетитель, то выпивали все. Случай с этим посетителем из анекдота превращается в «парадокс пьяницы», который гласит: «В любом баре имеется по крайней мере один человек, который если пьёт, то пьют все».

Здравый смысл подсказывает: нет абсолютно никаких оснований распространять анекдотичный случай в баре на любой бар. Однако по правилам логики, парадоксальное, а то и нелепое утверждение следует считать верным. Смаллиан объясняет: да, существует такой человек, что если он пьёт, то пьют все. Это следует из принципа логики, согласно которому из ложного утверждения следует любое утверждение.

Взглянем на проблему с формальной точки зрения. Утверждение о том, что все пьют, либо истинно, либо ложно. Предположим, что оно истинно. Выберем кого-нибудь и назовём его Джимом. Так как все пьют и Джим пьёт, то верно, что если Джим пьёт, то все пьют. Следовательно, есть по крайней мере один такой человек (а именно Джим), что если пьёт он, то все пьют.

Если я пью, то пьют все. Такой уж я человек

Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть не верно, что все пьют. B этом случае существует по крайней мере один человек (назовем его Джимом), который не пьёт. Поскольку не верно, что Джим пьёт, то верно, что если Джим пьёт, то пьют все. Следовательно, и в этом случае существует такой человек (а именно Джим), что если он пьёт, то пьют все.